Sessió 2 - Fraccions i decimals

En aquesta sessió volem presentar exemples d’activitats que es poden fer amb fraccions i decimals i que permeten reflexionar sobre els nombres, més enllà del càlcul que poden fer amb ells.

El treball amb fraccions i nombres decimals s’ha de plantejar a l’aula de manera conjunta per ressaltar les estretes connexions entre dues temàtiques que, des de la perspectiva matemàtica, estan sota el paraigües d’un mateix conjunt numèric: els nombres racionals.

Aquest plantejament s’hauria de fer sense perdre de vista que els decimals no són un conjunt de nombres, sinó una manera d’expressar-los, i que “els decimals” van més enllà del conjunt dels nombres racionals. Els racionals són els nombres que es poden expressar com a fracció, però els nombres que no són racionals (com per exemple, π) tenen també una expressió decimal, encara que pel seu caràcter infinit es treballen només lateralment a Primària.

• Activitat 1. Fraccions. Model de repartiment
• Activitat 2. Decimals i arrels. Treball sobre la línia numèrica
• Altres activitats
• Idees clau
• Per saber-ne més

• Es volen repartir 3 galetes entre 4 nens.
• Es volen repartir 4 galetes entre 5 nens.
• Es volen repartir 5 galetes entre 4 nens.
  

En cada cas, es pregunta: quina quantitat de galetes correspondrà a cada nen? Es donen ninotets per representar als nens, cercles de paper per representar les galetes i tisores per retallar-los.
A continuació posem en comú les respostes aconseguides i, a partir de les aportacions dels assistents, discutim:

• en el cas de 3 galetes i 4 nens, i havent acordat que les respostes presentades són correctes, és el mateix 1/4+1/2 que 1/4+1/4+1/4=3/4
  
  
• en el cas de 5 galetes i 4 nens, que 1¼ = 1/4+1/4+1/4+1/4+1/4 o el que és el mateix “cinc quarts” (donant d’aquesta manera suport a l’existència de fraccions impròpies, o sigui fraccions que representen més d’una unitat)
  
  
• en el cas de 4 galetes i 5 nens, que encara que matemàticament la solució més immediata seria dir que a cada nen li toquen “quatre cinquens” de galeta, en fer el repartiment manualment no és tan natural donar a cada nen quatre trossos corresponents a ⅕ de galeta com
  
  
  • donar primer, 1/2 galeta a cada nen (es reparteixen així 2½ galetes, quedant 1½ galeta per repartir).
    
    
  • a continuació, donar 1/4 galeta a cada nen (es reparteixen així 1¼ galeta, quedant 1/4 de galeta per repartir).
    
    
  • repartir entre 5 parts iguals la quarta part d’una galeta, que correspondria trossets que s’obtindrien al de dividir una galeta entre 20.

Comencem presentant l’oportunitat que ens brinden applets com els del Freudenthal Instituut (https://goo.gl/JwX9JE ,https://goo.gl/8PWZsk) per visualitzar la relació entre la representació decimal d’un nombre i la ubicació d’aquest nombre en la línia numèrica. Destaquem especialment el potencial de l’efecte lupa que ofereixen.

Proposem aprofitar aquesta idea per donar sentit a una expressió com √43, ressaltant el fet que hem de treballar la noció d’arrel quadrada sense necessitat de presentar cap algoritme tradicional de càlcul. Els alumnes al final de la primària han de donar sentit al càlcul de √43 com d’un nombre que elevat al quadrat doni 43:

• en un primer moment, cal veure que el nombre cercat està entre 6 i 7 (perquè 6 al quadrat és 36, que és menor que 43, però 7 al quadrat és 49, que és major que 43)
  
  
• com sabem que entre 6 i 7 existeixen infinits valors, cal preguntar-se en quin sector dels segment de la línia numèrica entre 6 i 7 està √43
  

• per esbrinar-ho ens plantegem analitzar quins nombres obtenim en elevar al quadrat valors entre 6 i 7, fins descobrir que √43 està entre 6,5 i 6,6
  

• com sabem que entre 6,5 i 6,6 existeixen infinits valors, cal preguntar-se en quin sector dels segment de la línia numèrica entre 6,5 i 6,6 està √43
  

• per esbrinar-ho ens plantegem analitzar quins nombres obtenim en elevar al quadrat valors entre 6,5 i 6,6, fins descobrir que √43 està entre 6,55 i 6,56
  

• aquest procés podria continuar indefinidament donant sentit a la resposta que ens dona la calculadora quan li demanem √43
  

A partir de l’activitat anterior discutim el sentit de l’arrel quadrada com a operació inversa de la potència i, associada a la possibilitat de trobar en la línia numèrica punts dins de qualsevol segment, la existència de nombres que tenen una expressió decimal “infinita”.

• L’ús de materials manipulatius és molt important per donar suport al treball amb fraccions. Per exemple: el tangram (ARC: https://goo.gl/2eQEqW).
  
  
• Les fraccions no només representen parts d’una unitat sinó que també poden representar, per exemple, raons i proporcions.

• En fer la divisió decimal entre dos nombres naturals es poden obtenir diferents tipus de decimals: finits o periòdics (PuntMat:https://goo.gl/3RCrfT)
  
  
• Existeixen decimals infinits que no són periòdics i per tant no són fraccions però hi ha fraccions tan a prop d’aquest nombre com vulguem. (PuntMat:https://goo.gl/C2sGRW)

• Les fraccions, els decimals i els percentatges ens permeten tractar problemes que no podem resoldre amb nombres naturals: aproximació, expressió quantitats inferiors a 1, raons,…
  
  
• Hi ha diversos significats de les fraccions: part del total, operador, mesura, repartiment, raó.
  
  
• La idea de parts iguals té un sentit quantitatiu, al marge de les formes en el cas de representació geomètrica, i de les grandàries dels elements de la col·lecció, en el cas de fracció d’un nombre.
  
  
• És fonamental poder expressar les fraccions de diferents maneres: amb materials, gràficament (usant figures, col·leccions i la recta numèrica) i simbòlicament.
  
  
• L’equivalència de fraccions comporta poder substituir una fracció per una altra que sigui més fàcil per al càlcul, per entendre el seu valor, per comparar …
  
  
• Tota fracció es pot expressar com un nombre decimal, però hi ha decimals que no són fraccions, se’n diuen nombres irracionals. Per exemple el nombre π, √2 …
  
  

Barba, D & Calvo, C. (2017) Tareas ricas para trabajar con decimales, Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, ISSN 1130-488X, Nº 87 (Versió digital disponible a: https://goo.gl/zdN7b4 )