Intervenció en l'aprenentatge dels algoritmes


Recursos per a l'aprenentatge dels algoritmes


Automatització de càlculs


Abans de sumar, restar, multiplicar i dividir cal efectuar un bon treball del reconeixement global de les quantitats, de la línia numèrica i de l'agrupació dels nombres en les graelles.

Alguns càlculs a automatitzar mitjançant el reconeixement global de les quantitats són els següents:

  • Sumar 1:


  • Sumar 2:


  • Sumar dobles (per a introduir el concepte de doble va molt bé treballar les fitxes "dobles" del dòmino:


  • Combinacions amb el 5:


  • Suma de desenes senceres + unitats:

Materials:



Sumar utilitzant l'estratègia dels nombres amb punts:


Alguns alumnes, però, tenen greus dificultats per a automatitzar càlculs quan per exemple han de sumar les xifres d'una suma.

En aquests casos els alumnes s'imaginen els números amb punts:

Evidentment, per arribar a aquesta imatge mental caldrà situar de forma manipulativa fitxes de parxís damunt dels cartronets de les diferents xifres (primer amb model i després sense).

Quan ja tenen elaborada aquesta imatge mental i es troben que han de sumar per exemple "6+9",


  • Primer comencen pel gros ("girem la truita!"): 9.
  • Després, mentalment, o fent moviments amb el dit pel damunt del 6, salten els 6 punts imaginaris mentre van comptant endavant, a partir del 9, és a dir, 10, 11, 12, 13, 14 i 15.

Material per a treballar els nombres amb punts: nombres_amb_punts.pdf


Automatització de les taules de multiplicar:


Per automatitzar les taules de multiplicar primer cal entendre la multiplicació com el càlcul automàtic de sumes amb tots els sumands repetits.

Per tant caldrà treballar prèviament quines sumes es poden convertir en multiplicació i quines no.


Una vegada sabem que es tracta d'una situació multiplicativa, per a elaborar la multiplicació o producte de factors, cal que l'alumne interioritzi les dues preguntes màgiques:


  • Quin número es repeteix?


  • Per quantes vegades es repeteix?



Abans de memoritzar una taula l'alumne cal que sigui capaç de construir-la.

En l'elaboració de la taula, l'alumne es pot adonar com la taula del 2 salta de 2 en 2, la taula del 3 salta de 3 en 3, etc.

En l'aprenentatge de cada taula es pot partir d'una situació significativa:

  • La taula del 2 va bé per a calcular els dobles.
  • La taula del 3 va bé per a calcular els triples.
  • La taula del 4 per a comptar potes de cadires, de mamífers, rodes de cotxes (si no tenim en compte la de recanvi)…
  • La taula del 5 és molt important per a estudiar el rellotge (de 5 en 5 minuts).
  • La taula del 6 per calcular sumes de mitges dotzenes.
  • La taula del 7 per calcular els dies de les setmanes senceres.
  • La taula del 8 per comptar potes d'aranyes o de pops…
  • Amb la taula del 9 es pot fer màgia amb els dits de la mà:

http://www.youtube.com/watch?v=gKA4z3Ssmso


Per memoritzar les taules podem utilitzar material manipulatiu, com per exemple:


Un altre recurs per a memoritzar les taules de multiplicar són les cançons.

Ara bé, no parlem d'aquelles cançons que impliquen la recitació de la taula tot fent una cantarella, sinó de cançons que inciten a memoritzar la taula a partir d'un fil argumental i d'una associació d'idees a partir de la rima.

En aquest sentit disposem del recurs Mates a la salsa, idea original de l'Anna Ma. Lorente i la Rosa Ma. Vidal.


http://www.telefonica.net/web2/monteperdido/Mates%20a%20la%20salsa.htm

En aquesta web, entre d'altres coses trobarem les caçons de totes les taules (lletra, partitura i vídeo).

Un exemple de cançó:

http://www.youtube.com/watch?v=jUCswsBCznc


Una altra estratègia és efectuar les sèries ràpides de les diferents taules.

Una vegada presentada la taula i iniciades les estratègies de memorització, l'alumne cal que desenvolupi agilitat en el seu ús.

Cada taula té dues sèries:

  • Una on tots els factors corresponen a la taula pròpiament dita.
  • Una altra on els factors de la taula nova es barregen amb factors de les taules anteriorment estudiades.

Cada sèrie consta de 3 columnes de 15 ítems cadascuna (en total 45 ítems). Al senyal del mestre l'alumne cal que comenci a respondre començant per la primera columna, de dalt a baix; si li dóna temps passa a la segona i si encara li dóna temps a continuar passa a la tercera.

L'alumne només disposa de 2 minuts per a fer la sèrie.

Una vegada feta es corregeix i s'anoten el nombre d'encerts totals en un full de registre. Es tracta de repetir la mateixa sèrie en diferents sessions, tot intentant millorar els registres.

Sèries per automatitzar les taules de multiplicar:




Algoritmes


Un dels apartats importants a tenir en compte en el moment d'aprendre els algoritmes, és el de ser capaç de col·locar correctament les diferents xifres en el seu lloc corresponent.

Per tant en les primeres sumes i restes, resulta necessari facilitar una estructura que delimiti molt bé quina part correspon a les unitats i quina a les desenes.

Una estratègia és repassar les xifres dels diferents sumands de colors, seguint un codi, com per exemple: les unitats blaves, les desenes vermelles, les centenes verdes…

Una vegada repassades, demanem que col·loqui els números en la suma o resta. Al fer-ho per colors, resulta molt evident l'error, ja que les xifres blaves estaran totes a la mateixa columna, les vermelles en una altra columna, etc. Per tant dues xifres de diferent color mai es podran trobar dins de la mateixa columna.

A l'efectuar les primeres sumes portant o sense portant-ne va bé que l'alumne representi les quantitats de forma esquemàtica (unitats amb creus blaves i desenes amb pals vermells, per ex.), sempre tenint la cura de delimitar dues regions a partir d'una línia vertical (a la dreta representarem les unitats dels sumands, mentre que a l'esquerra representarem les desenes del sumands).

Un recurs on-line que simula molt bé el procediment de l'algoritme de la suma és el següent:

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_154_g_1_t_1.html


L'algoritme de la suma pas a pas



  • 1- Col·loquem el primer sumand: "8"
    • Primer el repassem de color. En aquest cas veiem que és un número que no té desenes, per tant només necessitarem el color blau de les unitats.
    • Com que es tracta del primer sumand el col·loquem al pis de dalt, al cantó de les unitats.
    • Representem les unitats (8 creuetes blaves) al cantó de l'esquerra de la línia de separació.
  • 2- Col·loquem el segon sumand: "75".
    • Repassem cada xifra del seu color: el 7 de les desenes vermell i el 5 de les unitats blau.
    • Com que es tracta del segon sumand el col·loquem al pis de baix, cada xifra al seu cantó corresponent.
    • Representem el número: les cinc creuetes blaves de les unitats al cantó de les unitats i les 7 barres vermelles al cantó de les desenes.



  • 3- Col·loquem el signe de l'operació.
    • En aquest cas es tracta d'una suma, per tant col·locarem el signe "+".
    • El signe de l'operació es col·loca al davant del número que hi ha més a l'esquerra del pis de baix.
  • 4- Sumem les unitats.
    • En aquest cas veiem que quan ajuntem totes les creuetes (unitats) ens dóna 13 i no el podem escriure al cantó de les unitats ja que passa de 9.
    • Fem una bossa vermella ajuntant 10 creutes (fem una desena).
    • La desena no es pot quedar al país (cantó) de les unitats, per tant se'n va cap al cantó de les desenes.
    • Quan arriba al cantó de les desenes, les unitats es transformen en una barra nova (una barra de 10 = 1 desena).



  • 5- Anotem les unitats resultants a la suma.
    • Observem al dibuix que només ens han quedat 3 unitats al dibuix, després que les altres 10 creutes han marxat.
    • Anotem el número 3 a les unitats, i el "1" de la desena nova l'apuntem al cantó de les desenes. Com que és nova, el fem petit, però l'encerclem per recordar-nos que hi és.
  • 6- Anotem les desenes resultants a la suma.
    • Comptem totes les desenes que tenim: les 7 que ja teníem i la desena nova que hem fabricat, en total 8.
    • Anotem el 8 al lloc corresponent de la suma.



  • 7- Finalment anotem el resultat de la suma a la part superior.
    • Aquest és un pas que molts alumnes obliden de fer.




L'algoritme de la resta pas a pas


En el moment d'efectuar una resta podem aplicar diferents procediments per a fer-ho.

Aquí explicarem un procediment que acostuma a donar bons resultats amb alumnes que presenten dificultats d'aprenentatge.

D'altra banda, és imprescindible treballar alguns aspectes previs abans de passar a la resolució de l'algoritme de la resta sobre paper.

A la resta hi ha dos protagonistes principals: el minuend i el subtrahend.


Podem fer rètols amb aquests noms i repartir personatges.

El minuend és el que té el material o quantitat de sortida.

El subtrahend és el que porta l'antifaç lila, i aquest no té res, però té la missió de prendre una quantitat al minuend.

Al principi treballem amb material. Per exemple el que fa de minuend pot tenir 26 bales, o xapes, o clips… Anotem aquesta quantitat al lloc corresponent de la resta .

A sota del número anterior anotem la "missió" del subtrahend. Si anotem 12, voldrà dir que el subtrahend li haurà de prendre 12 elements al minuend. Aprofitem per posar el signe "-" al lloc corresponent de la resta.

Es aconsellable també, desar l'antifaç lila dins d'una capseta que tingui a fora una etiqueta amb el signe menys, per tal que l'alumne associï aquest signe amb l'acció de prendre.

De tant en tant hem de donar alguna "missió impossible" al subtrahend, per tal que l'alumne s'adoni que el subtrahend mai no pot ser més gros que el minuend.

Després de cada acció cal que l'alumne escrigui el resultat de la resta al seu lloc corresponent.

Quan aquest procediment ja està assolit, en comptes d'objectes reals, al minuend li donarem material multibase. En un principi haurem de donar al subtrahend missions senzilles (reste sense portar), fin que arribarà un moment que li plantejarem una missió més difícil ja que, tot i que és possible (perquè el número del subtrahend és més petit que el minuend), implicarà algun canvi per tractar-se d'una resta portant-ne.

Arribats a aquest punt veurem que, per exemple, el minuend haurà de canviar alguna desena de les que té per 10 unitats.

Veiem la representació gràfica.


  • 1- Cal resoldre la resta "74-19".
  • 2- Ens preparem la resta.
    • Escrivim cada nombre al seu lloc. El minuend al pis de dalt i el subtrahend al pis de baix.
    • Dibuixem la línia de separació dels dos països: el de les desenes i el de les unitats.



  • 3- Dibuixem la quantitat que ens indica el minuend:
    • Les 4 unitats a dreta.
    • les 7 barres a l'esquerra.
  • 4- El subtrahend vol complir la seva missió.
    • Sap que ha de començar per les unitats, però n'ha d'agafar 9 i només en troba 4.
    • Demana al minuend que enviï reforços a les unitats.
    • El minuend canvia una desena per 10 unitats.
    • Com que ha perdut una desena (que se'n va al cantó de les unitats), apuntem un puntet a sobre de l'1 del subtrahend.
      • Remarca: Aquest punt té molta importància, sobretot de cara a automatitzar l'algoritme més endavant. És aconsellable no posar-lo ni a la dreta, ni a l'esquerra del número de les desenes del subtrahend, ja que quan s'efectuïn restes amb més xifres, hi ha alumnes amb dificultats de lateralitat que no saben mai si el puntet és del número de les desenes o el de les centenes, per exemple. Així, doncs, posant-lo a sobre eliminem una dificultat.
    • Les 10 unitats de reforç han convertit el 4 del minuend en un 14. Per tant anotem al seu costat un "1" petit que ens ho recordi.



  • 5- El subtrahend treu les unitats.
    • Amb una bosseta lila (igual que el color de l'antifaç) envolta les 9 unitats que ha d'agafar i se les emporta.
    • Anotem al lloc corresponent quantes unitats quede.
  • 6- Finalment el subtrahend treu les desenes.
    • Amb la bosseta lila envolta la desena que ha de prendre.
    • Anotem quantes desenes han quedat.
  • 7- Escrivim el resultat de la resta al seu lloc corresponent.


Més endavant, per automatitzar la resta, els hi podem plantejar fer-ho com els grans.

Prèviament haurem de demostrar que 8 menys 3 és el mateix que pensar quants li falten al 3 per arribar a 8.

Una vegada demostrat, caldrà treballar l'expressió tipus " de 6 per arribar a 8", "de 2 per arribar a 6", etc. i assegurar-nos que l'alumne resol bé aquest tipus de càlcul. El nen que tingui un bon domini de la recta numèrica ho podrà fer sense dificultats.

Quan restem com els grans no comencem per dalt: haurem de començar per baix.

Al principi va bé dibuixar un nen de puntetes amb els braços amunt per recordar la idea que "vol arribar al número de dalt". Aquest nen esquemàtic el dibuixarem a la part de baix i a la dreta de la resta, així ens recordarà que cal començar per baix i pel cantó de les unitats.

Comencem:

  • De 9 a 4… no podem Si anem endavant després del 9 mai no trobarem el 4. Demanem ajuda a les desenes.
  • Traiem una desena al 7 de les desenes. Ens la apuntem posant un punt a sobre de l'1. Així recordarem que n'hi hem de treure una més del que diu, ja que ens n'ha deixat una i ja no la té.
    • Podem practicar a part, que un 1 amb puntet és un 2, que un 3 amb puntet és un 4, etc.
  • Anotem la desena que ens donen amb un 1 petit al costat del 4.
  • Ara ja podem continuar. De 9 a 14… 5. Ho anotem a sota.
  • Restem les desenes. Un 1 amb puntet és un 2. De 2 a 7…5
  • Ja tenim el resultat de la resta.

Materials:


Recursos digitals per a l'aprenentatge dels algoritmes




  • Quadern de Mates de Luis Pérez. http://www.xtec.cat/~lperez/index5.htm. Seguint les senzilles indicacions de l'autor es pot instal·lar aquest programa al nostre ordinador. Amb aquest programa es pot treballar seguint una progressió seqüencial molt ben plantejada, apartats de numeració, càlcul, algoritmes, etc.





Imatges extretes de:


  • Fotografies i il·lustracions: Sara Serra i Reme Sanabria.