Mòdul 3 - Pràctica 1

L'objectiu d'aquesta pràctica és conèixer el programa GeoGebra i les seves principals característiques i saber on trobar recursos de matemàtiques fets amb aquest programa.

GeoGebra és un programari lliure interactiu que combina geometria, l’àlgebra, el full de càlcul, l’estadística i l’anàlisi. Inicialment va estar desenvolupat per Markus Hohenwarter, de la Universitat de Salzburg, com a recurs per a l'Educació Secundària, encara que també es pot fer servir a primària. Actualment l'equip que desenvolupa el programa està compost per més de deu persones i compta amb col·laboradors de tot el món. GeoGebra ha rebut diversos premis i distincions d'àmbit internacional com a programari educatiu. En el últims anys s'ha estès per tot el món i ja està traduït a més de quaranta idiomes, entre ells el català.

Si feu un recorregut per la web del programa i us atureu a l'apartat d'informació, trobareu quines són les característiques principals de GeoGebra:

• El programari és gratuït i de codi lliure.
• Hi ha una connexió absoluta i dinàmica entre els gràfics, l’àlgebra i el full de càlcul.
• La interfície és molt senzilla d’utilitzar i alhora incorpora característiques molt avançades.
• Disposa d'eines per a la creació i publicació de materials didàctics interactius com ara pàgines web.

Tot i que l'objectiu d'aquest curs no és la generació de materials, és molt recomanable que, si encara no ho heu fet, proveu el GeoGebra i comproveu a mode de tast la facilitat del seu ús, la potencialitat i les possibilitats didàctiques que presenta. A la pàgina inicial de la web del programa trobeu una imatge que va canviant a l'atzar cada cop que es carrega la pàgina. Si cliqueu a sobre d'aquesta imatge s'obre, en una finestra nova, la versió en línia de GeoGebra. Cal tenir Java correctament instal·lat.

La versió en línia es troba només en anglès. Si preferiu tenir la versió en català de GeoGebra, podeu clicar el botó Descàrrega i us portarà a una nova pàgina des d'on podreu descarregar el programa al vostre ordinador.

Premeu el botó Webstart (si trieu l'opció AppletStart accedireu al programa via internet sense cap instal·lació local) i trieu desar el fitxer geogebra.jnlp a l'escriptori del vostre ordinador, per exemple, i després executeu-lo. En l'escriptori haurà aparegut una nova icona que servirà per engegar el programa cada vegada. És possible que el primer cop que obriu el programa els menús no estiguin en la llengua que voleu emprar. Si és així, aneu a Options | Language i trieu-la.

De qualsevol de les maneres que accediu al programa comprovareu que s'obre mostrant dues zones principals:

• La zona gràfica, on es veuen les figures geomètriques, les corbes i les gràfiques de les funcions.
• La finestra algebraica, on apareixen les coordenades dels punts, les equacions de rectes i corbes i l'expressió algebraica de les funcions que hi ha a la zona gràfica i altres valors que el programa facilita.

També podeu veure la Línia d'entrada on podeu entrar les expressions algebraiques de les funcions i també els comandaments que podeu triar del desplegable de la dreta i, a la part superior, les Eines i menús on podreu trobar totes les funcionalitats del programa.

Comproveu, amb un exemple senzill, la connexió que hi ha entre la zona gràfica i la finestra algebraica. Feu clic a sobre de la tercera icona de les eines que representa una recta que passa per dos punts.

Cliqueu a sobre de dos punts qualssevol de la zona gràfica. Comproveu com s'ha creat la recta que passa per aquests dos punts i simultàniament s'han generat les coordenades dels punts i l'equació de la recta a la finestra algebraica.

A continuació seleccioneu l'eina mou (la primera icona de l'esquerre), cliqueu a sobre d'un dels punts i arrossegueu-lo per la zona gràfica. Comproveu com va canviant simultàniament el valor de la coordenada del punt i l'equació de la recta a la finestra algebraica. Aquesta característica dels programes de geometria dinàmica, com és el GeoGebra, proporciona un gran potencial didàctic en la generació d'activitats per a l'alumnat. A més, podeu fer servir el programa perquè l'alumnat resolgui problemes partint de la pantalla en blanc tal com veurem a la pràctica següent.

Accediu al menú Visualitza | Full de càlcul, comproveu que s'obre una nova zona a la dreta amb un full de càlcul que es connecta amb la zona gràfica i la finestra algebraica de la mateixa manera que hem vist a l'exemple anterior, la qual cosa augmenta considerablement les possibilitats del programa.

Fixeu-vos que les icones de les eines tenen una petita fletxa al cantó inferior dret que es posa vermella quan es passa el ratolí per sobre, en fer clic es desplega un menú amb més eines.

Investigueu altres eines del programa. Al menú Ajuda disposeu de l'ajuda en català amb indicacions senzilles per fer servir el programa.

Des de l'any 2002, en què es va crear el programa GeoGebra, fins ara són molts els docents de tot el món els que generen activitats per a l'aula i les pengen perquè estiguin a disposició de tothom. Podeu trobar un bon banc de recursos a la GeoGebraWiki.

Com podeu comprovar, hi ha activitats de GeoGebra en més de vint idiomes. Cliqueu a l'apartat de català i feu un recorregut pels diferents continguts, engegueu aquells applets que, pel seu títol, us puguin semblar interessants. La wiki de materials de català és gestionada per l'Associació Catalana de GeoGebra tal podeu comprovar al text d'introducció.

La pàgina web del mestre Sebastià Mora conté gran quantitat d'activitats i recursos per a l'alumnat de primària. Els apartats dedicats a les activitats fetes amb GeoGebra, tot i que estan adreçades a cicle superior, es poden fer servir per a 1r d'ESO.

Cliqueu a Geometria-GeoGebra, cerqueu l'apartat Simetries i translacions i feu clic a l'activitat Traçar figures simètriques respecte un eix amb la qual es poden treballar les simetries a través de la seva representació.

Es tracta d'una activitat senzilla que permet l'alumnat comprovar si han fet correctament les representacions arrossegant el punt lliscant que hi ha a la zona gràfica i que fa que es mostri la figura simètrica. Totes les activitat d'aquesta pàgina web són guiades i es poden portar a l'aula fàcilment. Investigueu altres activitats que es puguin adaptar al currículum de d'ESO.

A la pàgina Pràctiques amb GeoGebra del professor Pep Bujosa trobeu un recull d'activitats per a ESO i batxillerat organitzades per continguts. Cliqueu a l'apartat La derivada d'una funció i després a l'activitat Interpretació geomètrica de la derivada en un punt. Aquest applet és molt complet i permet treballar a l'aula amb diferents metodologies. El podeu fer servir per explicar el concepte de derivada fent servir un canó o una pissarra digital. Podeu fer que s'incorporin diferents elements al gràfic, decidint si es marquen o no les caselles que fan que es mostri la recta tangent i l'expressió de la funció derivada en un punt, de manera que es pot treballar a diferents nivells. També permet que l'alumnat treballi amb l'ordinador amb el concepte de derivada, en aquest cas es pot complementar l'activitat amb preguntes i exercicis que l'alumnat hauria de contestar i resoldre fent servir l'applet.

Al mateix bloc de la derivada d'una funció obriu l'activitat Pujades i baixades. Aquesta aplicació permet visualitzar, amb una animació, la relació entre la gràfica d'una funció i la de la seva derivada. Desplaceu el punt lliscant d'Automàtic a Manual i arrossegueu amb el ratolí el punt que apareix a l'eix X. Marqueu les diferents opcions que permeten que es visualitzin la tangent, la derivada mòbil i la funció derivada. Aquesta activitat té un alt potencial didàctic per explicar el creixement i decreixement d'una funció, els màxims i mínims i la relació entre la funció i la seva derivada.

Investigueu altres activitats que us puguin resultar interessants per portar a l'aula.

A la pàgina Ejemplos diversos de webs interactivas de Matemáticas, del professor de matemáticas Manuel Sada de Navarra, trobeu una gran col·lecció d'activitats de GeoGebra classificades per continguts, la majoria són de geometria i de funcions però també trobeu continguts d'estadística i probabilitat.

Clique a sobre de l'apartat Teorema de Pitágoras.

Aquest apartat disposa d'una activitat de comprovació del teorema, una altra d'extensió del teorema i vuit demostracions visuals. Cliqueu a l'apartat Comprobación. En aquesta activitat es presenta un applet de GeoGebra i unes preguntes a sota per tal de guiar l'aprenentatge de l'alumnat, és important guiar l'alumnat a través de preguntes perquè facin un ús correcte de l'activitat. Totes les activitats de la web presenten aquesta mateixa estructura.

En aquesta activitat, a més de seguir el guió proposat, es podria aprofitar l'applet, per exemple, per comprovar que es compleix el teorema de Pitàgores per a qualsevol triangle rectangle que representem amb les eines de què disposem. Per això, es podria proposar a l'alumnat que moguessin els vèrtexs del triangle fins fer coincidir l'angle recte amb la quadrícula, a partir d'aquí es poden modificar fàcilment els costats de triangle rectangle conservant l'angle recte.

A sota dels blocs de continguts de la pàgina d'inici trobeu una Guia didàctica en format .doc amb orientacions per al professorat i un enllaç a un índex dels continguts classificats per nivell. També hi trobareu enllaços a altres pàgines amb recursos fets amb GeoGebra i tutorials.

A la pàgina web del professor Daniel Mentrard (en francès) trobareu gran quantitat de construccions per a matemàtiques i per a física. Cliqueu a l'apartat de matemàtiques i després cliqueu un altre cop a sobre del llibre d'activitats. El menú de l'esquerre presenta un gran llistat d'apartats classificats per continguts, els més nombrosos són els de geometria. Exploreu els apartats de geometria i comproveu l'excel·lent col·lecció d'applets per treballar a diferents nivells molts dels continguts del currículum de l'ESO: figures geomètriques, àrees, perímetres, teorema de Tales, teorema de Pitàgores, etc. Tot i que les indicacions de les activitats estan en francès, la majoria són molt intuïtives, a més, disposeu del traductors en línia que són molt eficients, per exemple, el traductor de Google.

Al menú també hi ha dos apartats de geometria a l'espai anomenats Espace(1) i Espace(2), cliqueu a l'apartat Espace(1) i engegueu l'applet anomenat Patron du cube que fa referència al desenvolupament d'un cub. En trobareu altres applets similars a aquest.

El punt lliscant inferior permet activar l'animació per tal de veure com es forma el cub, el punt vermell de l'esquerre permet moure la construcció en tres dimensions i arrossegant el punt E del segment superior, a la dreta, podeu escalar el cub.

Exploreu també els apartats de trigonometria i vectors.

Altres pàgines on trobareu recursos fets amb GeoGebra:

• Presentaciones con GeoGebra de Rafael Losada
• Geometría dinámica