Mòdul 2 - Pràctica 2

En aquesta pràctica, que està dividida en dues parts, veureu com aprofitar alguns dels recursos d'una web de nivell de batxillerat. La primera part per treballar els nombres reals (incloent els enters i els racionals); i la segona part per treballar els nombres complexos utilitzant una unitat didàctica elaborada amb l'entorn Descartes.

Podeu veure, doncs, que aquesta pràctica està pensada per a professorat que imparteixi batxillerat tecnològic o científic, però també és de gran interès, pel que fa a la primera part, per a segon cicle d'ESO.

La web objecte d'estudi es diu Nombres reals i la trobareu en aquesta adreça: http://www.terresdeponent.com/web/departaments/d_mates/mates/n_reals/index.html. Forma part de la web de l'IES Terres de Ponent i el seu autor és J. Pedròs.

L'objectiu d'aquesta pràctica és esbrinar quins continguts i recursos podeu trobar en aquesta web sobre els nombres reals, veure quins us poden ser útils per desenvolupar una part del currículum de segon cicle d'ESO que fa referència a números i càlcul, i planificar la seva aplicació a l'aula.

1) Estructura de la web

Entreu a la web escrivint la seva adreça al navegador o clicant directament a l'enllaç presentat. Veureu que es carrega un arxiu de Flash. Això vol dir que heu de tenir instal·lat el plug-in de Flash (FlashPlayer) per a poder veure correctament aquesta web. Un cop acabada de carregar, veureu que la portada té aquest aspecte (les anotacions en blanc són les indicacions per saber on heu de fer clic):

A l'esquerra teniu un menú de continguts amb apartats que es poden desplegar, i a la part inferior dreta podeu veure un menú d'utilitats no menys important. Cliqueu a la utilitat web i en al submenú que s'obrirà, cliqueu a la utilitat mapa de la web.

Tindreu al vostre abast tots els apartats i subapartats de la web amb la possibilitat d'accedir-hi a qualsevol només amb un clic:

A l'esquerra teniu els continguts curriculars i a la dreta, les eines i utilitats de la web.

Per desenvolupar aquesta pràctica s'ha escollit l'apartat sobre el nombre pi i els generadors d'exercicis sobre enters i fraccions com a exemples d'utilització didàctica. Però hi ha més apartats adients per a segon cicle d'ESO que no detallarem aquí, com la representació de radicals sobre la recta (repàs del teorema de Pitàgores) i l'apartat de Notació científica (matèria curricular de 3r d'ESO). Podeu entrar a cada apartat i veureu la seva conveniència per utilitzar a l'aula amb algun grup reduït d'alumnes, com a ampliació.

2) Càlcul del nombre pi pel mètode d'Arquimedes

L'apartat del nombre pi és un subapartat de l'apartat de nombres irracionals. S'hi pot accedir des del mapa de la web o bé clicant l'opció nombres irracionals del menú de continguts, i després, clicant sobre nombre pi en el submenú que es desplega. La seva adreça directa és: http://iesterresdeponent.xtec.net/web/n_reals/treball/n_pi.html. A la imatge següent podeu veure l'aspecte de la pàgina. Observeu que a l'encapçalament de cada pàgina teniu disponible el menú de continguts i d'utilitats de la web:

Observeu que hi ha una explicació històrica sobre el nombre pi i que la part de color gris és activa i al final, a la dreta hi ha una fletxa vermella clicable que accedeix a un full interactiu on es troba explicat el procés de càlcul del nombre pi pel mètode que va usar Arquimedes.

Cliqueu a la fletxa vermella del final del requadre gris, a la dreta. Tot seguit apareix un full nou amb una zona interactiva on escollir el nombre de costats del polígon que voleu inscriure i circumscriure a la circumferència, i on s'actualitza, de manera automàtica, el dibuix i els càlculs a cada clic.

La majoria d'apartats de continguts d'aquesta web van acompanyats d'activitats interactives de diferents tipus per comprovar la comprensió dels conceptes i procediments. Per exemple, mireu l'apartat de Notació científica.

3) Generació automàtica de fulls d'exercicis per imprimir

Feu clic a l'apartat exercicis del menú d'utilitats de la web. Es desplegarà un submenú amb tres opcions:

La més interessant és la primera opció i ara l'estudiarem. Les fitxes de treball contenen un únic full de treball per a cada apartat de la web, per imprimir i treballar en paper. Posa't a prova és una proposta d'avaluació final del tema amb correcció automàtica que s'ha de resoldre des de la web, i que és apropiada per a alumnat de batxillerat.

Cliqueu sobre fulls d'exercicis i veureu els diferents tipus d'exercicis que es poden generar. Tot seguit, feu clic sobre enters i, a continuació, feu clic sobre full en una sola columna:

A continuació, s'obté un formulari on podeu escriure el nom del centre, el nom de l'alumne/a, el nivell, el nombre d'exercicis que voleu de cada tipus, el nombre de sumands dels exercicis, el rang de valors dels nombres que hi apareixeran i si hi voleu literals o no:

Ompliu el formulari i vegeu com al final es va comptabilitzant el nombre d'exercicis. Quan acabeu, només heu de clicar d'acord i s'obté un full d'exercicis personalitzat i llest per imprimir i lliurar personalitzat a cada alumne/a.

• Requeriments de maquinari i de programari: Per dur a terme l'activitat, necessiteu un ordinador connectat a Internet per a cada alumne (o grups de dos alumnes) i un navegador d'Internet amb el plug-in FlashPlayer instal·lat.
• Metodologia: Podeu escriure a la pissarra l'adreça web i el títol de l'activitat que voleu que facin indicant com arribar-hi a través del menú o del mapa de la web. Si disposeu de projector a l'aula, podeu connectar amb la pàgina web i deixar que els alumnes vegin l'adreça del navegador. Un cop els alumnes hagin acabat de llegir la pàgina i fer les activitats proposades en aquest apartat de la web, els indicareu d'entrar a la fitxa de treball corresponent perquè la imprimeixin i la completin per escrit i lliurin el full al final de la classe. També hi ha la possibilitat de portar els fulls de treball fotocopiats per estalviar temps i despeses de tinta.
• Material per l'alumnat: Tota la feina es farà a la web i a la fitxa de treball impresa. Els alumnes només han de dur un llapis o bolígraf per omplir la fitxa de treball.
• Avaluació: Es podrà fer a partir de la fitxa de treball lliurada al professor/a al final de la classe.
• Temporització: Normalment, si tot està ben preparat i no falla res, aquesta activitat es pot dur a terme en una hora de classe.

• Títol: Jugar amb els números ( jocs de classificació, d'ordenació, operacions i exercicis amb els números naturals, enters, racionals i reals)
  Autor: D. Castells
  Idioma: català
  Adreça web: http://www.xtec.cat/~dcastell/webnumeros

• Títol: De los naturales a los complejos (unitat didàctica Descartes que s'estudia a la pràctica següent per treballar els complexos a batxillerat, però que tracta també dels naturals, enters i fraccionaris, per a ESO)
  Autor: Juan Madrigal Muga i Ángela Núñez Castaín
  Idioma: espanyol
  Adreça web: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index.htm

• L'apartat dedicat als nombres de la web Matemàtiques al punt de Josep Lluís Cañadilla, professor de matemàtiques de l'IES Baix Penedès del Vendrell. Apareix a l'adreça http://www.xtec.net/~jcanadil/activitats/mao/nombres.htm.

L'objectiu d'aquesta segona part de la pràctica, tal i com hem comentat, és utilitzar una unitat didàctica elaborada utilitzant l'entorn Descartes per treballar els nombres complexos a l'aula d'Informàtica. Aquesta pràctica és adient per al professorat de batxillerat.

La unitat didàctica amb què treballareu s'anomena Números complejos i està disponible a l'adreça http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index2.htm. Els autors són Ángela Núñez Castaín i Juan Madrigal Muga.

1) Exploració de la unitat didàctica Números complejos

Entreu a la web de la unitat i observeu que a la primera pàgina hi ha una introducció (a), una llista d'objectius (b) i un índex de les activitats ©:

Segurament us sorprendrà que la numeració de les activitats comenci per 9. Això és degut a fet que la unitat didàctica Números complejos és la segona part d'un projecte més ambiciós: hi ha una primera part, amb activitats numerades de l'1 al 8, sobre nombres naturals, enters, racionals i reals. Es pot accedir a aquesta primera part clicant sobre l'enllaç (d) de la pàgina d'inici.

2) Estructura de cadascuna de les activitats

Exploreu les activitats i comproveu que totes tenen una estructura similar:

• Una petita explicació (a) acompanyada d'algun gràfic, quadre, esquema …
• Un o uns exercicis (b) que l'alumne/a haurà de fer en el seu quadern ajudant-se d'una escena © que hi ha a la mateixa pantalla.
• Una escena ©, que és un applet interactiu fet amb Descartes. Del seu funcionament en parlarem a l'apartat següent.
• Al final de les activitats 16, 20 i 28 apareix un enllaç (d) que porta a una col·lecció d'exercicis proposats (resolts alguns d'ells).

3) El funcionament dels applets Descartes (les escenes)

Quasi tots els applets que apareixen en activitats de matemàtiques a Internet són interactius. En el cas dels applets fets amb Descartes, la possibilitat d'interactuar està present a les dues barres de menú amb uns botons botons que apareixen a la part superior i a la part inferior de l'escena. Per exemple, a l'escena de l'activitat 14 (suma i resta de complexos), quan es clica sobre algun del botons botó i botó, s'obtenen les respostes que s'expliquen a la imatge següent:

Tingueu en compte que en aquesta escena, inicialment, totes les parts reals i imaginàries dels complexos z1 i z2 valen zero, per això no apareix cap complex dibuixat. Si feu algun clic sobre algun botó de la barra inferior, començarà a dibuixar-se el vector.

Un cop han aparegut els complexos z1 i z2, podeu interactuar d'una altra forma: clicant sobre els seus afixos (punts vermells) i arrossegant el ratolí mentre teniu el botó esquerre premut. Aquesta forma d'interactuar (clicar i arrossegar) és característica de molts applets interactius.

Per finalitzar aquest apartat de la pràctica, exploreu totes les escenes de la unitat didàctica i interactueu amb elles.

4) Els exercicis proposats

Seguidament, teniu la pantalla amb els exercicis proposats després de l'activitat 28.

Exploreu tots els exercicis proposats que hi ha després de les activitats 16, 20 i 28.

• Requeriments de maquinari i de programari: Necessitareu un ordinador per a cada un o dos alumnes, amb connexió a Internet i amb l'intèrpret Java instal·lat.
• Metodologia: Començareu explicant el funcionament de la unitat als alumnes El temps destinat a aquesta introducció no haurà de ser excessivament llarg, ja que és ben senzill (només caldrà detallar el funcionament de les escenes Descartes, si no hi estan familiaritzats). Si disposeu de projector a l'aula, podeu fer-lo servir per a aquesta explicació.
  Deixareu treballar els alumnes a partir del moment en que observeu que són autosuficients. Passareu d'ordinador en ordinador per resoldre dubtes, comprovar com van progressant, i sobretot, que van fent els exercicis de cada activitat al quadern. Si detecteu que una activitat té alguna dificultat especial, fareu una explicació per a tota la classe aprofitant el projector, si és el cas. En finalitzar les activitats 16, 18 i 28, faran individualment els exercicis proposats corresponents al quadern. Finalment, faran individualment una prova d'avaluació escrita.
• Material per a l'alumnat: Els alumnes hauran de portar quadern de treball, estris d'escriptura i estris de dibuix per poder representar gràficament nombres complexos. També hauran de disposar d'una calculadora científica (o d'algun programa a l'ordinador que els permeti treballar amb funcions trigonomètriques i trigonomètriques inverses).
• Preparació d'una prova escrita d'avaluació: Pot ser una prova escrita similar a complexos.pdf.
• Temporització: Si bé la temporització sempre depèn de les característiques del grup classe, es pot estimar en tres sessions classe el temps necessari per dur a terme tota aquesta proposta.

• Títol: Sobre nombres complexos (activitats fetes amb amb CabriJava)
  Autor: Francisco González Maján
  Idioma: català
  Adreça web: http://www.xtec.cat/~fgonzal2/cframes800.htm(cal escollir Materials didàctics al menú de l'esquerra i després cercar els nombres complexos a la llista d'activitats que surt a la dreta).

• Títol: Nombres complexos (llibreta d'activitats amb la calculadora Wiris)
  Autora: Victòria Oliu Subiranes
  Idioma: català
  Adreça web: http://www.xtec.cat/~voliu/actiwiris/index.htm (cerqueu Nombres complexos a la llista d'activitats)

• Títol: Los números complejos. Formas, representación y operaciones (applets Descartes)
  Autora: Ángela Núñez Castaín (la mateixa autora de la unitat vista en aquesta pràctica)
  Idioma: espanyol
  Adreça web: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Los_numeros_complejos/index.htm

• Títol: The fundamental theorem of algebra (una història dels nombres complexos)
  Autors: J. J. O'Connor i E. F. Robertson (The MacTutor History of Mathematics archive)
  Idioma: anglès
  Adreça web: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html

Descartes és un generador d'applets Java, dissenyat per presentar interaccions educatives amb números, funcions i gràfiques, i que és utilitzat per molts autors de pàgines web educatives per enriquir els seus materials amb una àmplia varietat de models matemàtics interactius.

És un producte promogut i finançat pel Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa (CNICE) del Ministerio de Educación y Ciencia. La seva pàgina web oficial és http://descartes.cnice.mec.es/index.html, on podeu obtenir més informació i tota una biblioteca d'unitats didàctiques, aplicacions i experiències dutes a terme amb Descartes. Podeu trobar més detalls d'aquest projecte a la pràctica 3 del següent mòdul del curs.