En aquesta pràctica coneixereu alguns recursos del GeoGebra per treballar conceptualment les distribucions Binomial i Normal, i avançarem en alguns aspectes del treball amb seqüències i amb textos. Treballareu fonamentalment amb els comandaments:

• DiagramaDeBarres, que ja coneixeu.
• ComptaSi, EliminaNoDefinits i altres comandaments per a llistes, aplicades a rangs del full de càlcul.
• CoeficientBinomial[n,p] i AleatoriBinomial[n,p].
• Text, per presentar un text en el punt que ens interessi i Taula, que permet presentar a la zona gràfica informació tabulada.
• Normal[μ, σ, x].

Al final, us presentem una construcció que permet visualitzar l'aproximació de la Binomial per la Normal.

Actualment una de les possibilitats del GeoGebra és la de treballar amb la Distribució Binomial, cosa que podem fer servir per resoldre determinats problemes de càlcul de probabilitat a secundària.

La distribució binomial correspon a una variable aleatòria discreta que es presenta quan analitzem un experiment aleatori repetit n vegades, sempre en les mateixes condicions i de manera independent, del qual s'estudien únicament dos possibles resultats complementaris (cara o creu, múltiple de 3 o no, encert o no encert…). Si la probabilitat que s'esdevingui un dels possibles resultats (habitualment anomenat èxit) és p, la del seu complementari es representa per q i es verifica que p + q = 1.

A la finestra següent, en podeu veure una representació gràfica.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Per experimentar, tingueu en compte que:

• Els dos punts lliscants que veieu a la finestra anterior representen els paràmetres fonamentals per al càlcul de probabilitats d'aquests tipus de distribucions.
  • El paràmetre p representa la probabilitat que l'esdeveniment que estem estudiant es doni.
  • El paràmetre n representa el nombre de vegades que repetim l'experiment.

• El diagrama de barres ens indica les probabilitats que l'esdeveniment que estem estudiant tingui èxit 0, 1, 2… vegades en repetir l'experiment n vegades.

• Si activeu la casella Gràfic simulació veureu que apareixen superposades unes barres d'un altre color que representen les freqüències relatives d'una simulació feta amb 200 proves. Si Premeu F9 o Ctrl+r es fa una nova simulació i aquest gràfic canvia.
  • En aquest cas, si activeu la casella de verificació Taula podeu apreciar numèricament les diferències entre les probabilitats de cada esdeveniment (que indiquen les freqüències relatives esperades segons el model binomial) i les freqüències relatives corresponents observades empíricament en la simulació.

Per fer la construcció:

En aquest cas, el full de càlcul juga un paper molt important. Manteniu-lo a la vista.

• Convé que primer de tot adeqüeu els eixos:
  • Poseu l'origen a la part inferior esquerra de la pantalla.
  • Vegeu que a l'eix de les x es vegin bé des del 0 fins al 12, que són els valors que considerarem per a la n. ¹⁾
  • Poseu que la graduació de l'eix y sigui, per exemple, de -0.1 a 1.1, però amagueu-lo perquè així es veurà millor el diagrama.

• Creeu els punts lliscants p, amb valors a l'interval (0,1), i n, amb valors enters des de l'1 fins al 12. Per anar seguint bé la construcció poseu un valor de p proper a 0.5 i un valor de n al voltant de 8.
• Entreu a la cel·la A1 una X.
• En aquesta primera columna hi posarem els valors que es poden observar en la nostra distribució binomial.
  • Poseu, per començar, a la cel·la A2 un 0.
  • Escriviu a la cel·la A3 la fórmula Si[A2<n, A2+1] i ja veureu que hi apareix un 1.
  • Seguidament, copieu aquesta fórmula a les cel·les del rang A4:A14. ²⁾ Ja sabeu que, en els fulls de càlcul, si copiem fórmules aquestes s'adapten a les cel·les. Això vol dir que la fórmula anterior, quan la copiem, anirà canviant, i canviarà A3 per A4, A5… en les corresponents cel·les, en funció de la fila que ocupa. Per fer la còpia, podeu procedir de diferents maneres:
    • Seleccioneu la cel·la A3 i estireu el petit quadrat blau de la part inferior dreta de la selecció fins abastar la resta de cel·les que interessen.
    • O bé, seleccioneu la cel·la A3 i, amb el botó dret del ratolí, trieu Copia. Després, seleccioneu el rang A4:A14 i, amb el botó dret, trieu Enganxa.
  • Quan ja hagueu fet la còpia, heu de veure que ja teniu escrits a la columna A els nombres del 0 al n i que després, llevat que sigui n=12, queden uns valors no definits que correspondrien a X des de n+1 fins a 12.
    

• Entreu a la cel·la B1 el títol Probabilitats.
• Entreu a la cel·la B2 la fórmula
  Si[n ≥ A2, n!/(A2!*(n - A2)!)*p^A2*(1 - p)^(n - A2)].³⁾

• A continuació, copieu aquesta fórmula a les cel·les del rang B3:B14.
  • Pot ser interessant que feu doble clic a qualsevol de les cel·les del rang receptor de la còpia i observeu que la fórmula hi és i està adaptada a la fila corresponent. Feu variar els valors de n i p amb els punts lliscants i veieu com van canviant els continguts de les cel·les.

• La fórmula que hem posat requereix una explicació. Estem aplicant la fórmula de la probabilitat binomial
  
  Aquesta és l'expressió de la probabilitat que l'esdeveniment que estem estudiant hagi sortit A2 vegades després de n repeticions.
  • Després copiarem aquesta fórmula per aplicar-la per A3, A4, A5, A6, A7…
  • Noteu que, si fos Aj>n, aquesta fórmula no té cap sentit…però com que ja no tindrem escrits els Aj>n, el tractament dels no definits del GeoGebra fa que, simplement, no s'apliqui la fórmula però tot segueixi funcionant. Ja és el que volem!

Ara ja podem fer el gràfic de la distribució binomial, fixant-nos en les files del full de càlcul que tenen definit el valor de la probabilitat.

• Farem servir el comandament DiagramadeBarres. Ja sabeu que podeu entrar aquest comandament definint prèviament dues llistes, una per a cada rang, i posar-les com a arguments que representen la primera llista, les dades, la segona llista, les altures de les barres.
  • En aquest cas, les dades les tenim a les cel·les que tenen valor definit del rang A2:A14. Això ho podem indicar amb el comandament EliminaNoDefinits aplicat a seqüències, així: EliminaNoDefinits[A2:A14] ja ens fa una llista amb els valors que interessen.
  • Semblantment, les probabilitats, que volem que siguin les altures de les barres, les obtenim amb EliminaNoDefinits[B2:B14].
• Escriviu doncs a la línia d'entrada el comandament
  DiagramadeBarres[EliminaNoDefinits[A2:A14],EliminaNoDefinits[B2:B14],0.5]. Recordeu que 0.5 és l'amplada de les barres i observeu el diagrama que hi surt.
• Doneu al diagrama de barres el color que vulgueu que tingui. Heu de saber que el diagrama apareix a la finestra algebraica com un numèric; aquesta és l'opció per a accedir a les seves propietats.

Ens proposem, a continuació, situar els valors de les diferents probabilitats just a sobre de cada barra. Per aconseguir que, quan canviem de distribució, aquests textos s'adaptin en cada cas a les barres, farem servir el comandament Text que permet situar un text en el punt que ens interessi, i un nou comandament Objecte sobre el que aprofundirem més endavant.

Volem indicar, essencialment, que el valor de la probabilitat, que tenim a la cel·la Bj s'escrigui en el punt de coordenades (Aj, Bj). Però per tal que quedi ben situat, i tenint en compte com hem graduat els eixos, el posarem en el punt (Aj-0.25, Bj+0.015).

• Farem servir els comandaments Text i Objecte dins d'una Seqüència.
  • L'opció Text[text, Punt] ens situa en el punt que indiquem l'expressió de text, que també pot ser un valor numèric.
  • Com ho farem per indicar-li al GeoGebra que ens referim a una la cel·la Bj en una seqüència? Ho farem amb el comandament Objecte[ ].
  • I a més, això que acabem de dir ho hem de fer per j des de 2 fins a n+2, valors des de 0 fins a n de la distribució. Ja us hem dit que farem servir Seqüència.
• Per tot el que acabem de dir, la instrucció exacta que ens interessa (i que podeu copiar de la caixa inferior) és
  

 Seqüència [Text[Objecte["B"+j],(Objecte["A"+j]-0.25, Objecte["B"+j]+0.015)],j,2,n+2]

• Vegeu que tot ha funcionat i doneu a aquests textos el color i l'estil que us semblin adequats.

Ara és convenient que creeu les dues caselles de verificació per fer visibles, o no, el diagrama i els valors de les probabilitats. Feu-ho de manera que si la primera està desactivada no s'ha de veure ni la segona, ni el diagrama, ni els textos, i que la segona també controla els textos.

A continuació, entrareu les fórmules necessàries per fer la simulació amb 200 dades.

• Podeu entrar a la cel·la C1 el títol Simulació.
• Entreu a la cel·la C2 la fórmula AleatoriBinomial[n, p]. Amb aquest comandament escriurà a la cel·la C1 un nombre aleatori ajustat a una Binomial(n,p). Vol dir que serà com si hagués fet una prova de les n repeticions de l'experiment aleatori que estem estudiant i ens retorna el recompte d'èxits.
• Copieu-la a sota de la columna fins a la cel·la E201 i així tindreu 200 proves.
• Si aneu prement F9 veureu que els nombres de les cel·les del rang C2:C201 van canviant. Cada vegada, estem fent 200 proves d'un experiment binomial amb els paràmetres n i p donats.

Ara volem comprovar fins a quin punt aquests valors observats amb la simulació aleatòria s'ajusten prou bé a la distribució teòrica de probabilitats. Per això, al full de càlcul construireu una petita taula, calculant les freqüències absolutes i relatives dels 200 valors de E2:E201.

• Entreu a D1 el rètol Freq.Abs.
• Ara podríem entrar a D2 la fórmula ComptaSi[x ≟ A2, C$2:C$201] que serveix per comptar el nombre de vegades que surt el contingut de la cel·la A2 en el rang C2:C201, és a dir, en el cas de D2, quants zeros surten. El símbol ≟ és equivalent a dos iguals consecutius ( == ) i el símbol $ serveix perquè, com que voldrem copiar aquest contingut a les cel·les del rang D3:D14, no s'actualitzi la referència a C2:C201, que s'ha de mantenir constant. És el que s'anomena referència absoluta, i funciona així en tots els fulls de càlcul.
• Però no hi entrarem l'anterior, sinó Si[A2 ≤ n, ComptaSi[x ≟ A2, C$2:C$201]], perquè d'aquesta manera ho copiem; per a les cel·les Aj que tinguin un valor Aj > n ja no s'intentarà comptar res i es deixarà sense definir.
• Copieu, ara sí, aquesta fórmula al rang D3:D14, on ja s'anirà actualitzant. Comproveu que s'ha copiat correctament, fent doble clic a qualsevol de les cel·les de destí. Vegeu que si poseu per a la n un valor més petit que 12, algunes cel·les queden sense valor definit, amb un '.
• Entreu a D15 el text Total proves i a D16, 200.

Ja teniu les freqüències absolutes. Premeu F9 i comproveu que tot va bé, és a dir que es van fent diferents simulacions de les 200 repeticions de l'experiment aleatori binomial de n proves cada vegada.
Ara calculareu les freqüències relatives.

• Entreu a E1 el rètol Freq.Rel.
• Entreu a E2 Si[n≥A2,D2/D$16]. Amb la condició de sempre, si escau, calcula la corresponent freqüència relativa i deixa sense definir cap valor si es tracta d'una cel·la que no interessa pel valor actual de n. El $ ja sabeu per què hi és.
• Copieu-la a E3:E14. Ja teniu les freqüències relatives.

A continuació, representareu les freqüències relatives calculades.

• Entreu el comandament
  

DiagramadeBarres[EliminaNoDefinits[A2:A14],EliminaNoDefinits[E2:E14],0.8]. Amb aquesta amplada, i acolorint aquest diagrama d'un color diferent a l'altre, podreu distingir-los millor.

• Associeu aquest últim diagrama a una casella de verificació tal i com es veu a la finestra activa.

Per acabar, construireu la taula que compara les probabilitats amb les freqüències relatives observades en la simulació.

• El comandament Taula crea un objecte de text tabulant la informació que li hem de donar en diverses llistes de la mateixa longitud.
• Ara volem posar la informació que tenim als rangs A1:A14 (dades), B1:B14 (probabilitats) i E1:E14 (freqüències relatives observades). En cada una d'aquestes columnes només interessen les cel·les que tenen valor definit.
• Entreu doncs a la línia d'entrada el comandament
  

   Taula[EliminaNoDefinits[A1:A14],EliminaNoDefinits[B1:B14],EliminaNoDefinits[E1:E14],"vc"]

  
  Ja veieu l'efecte que té. El darrer argument del comandament Taula ens dóna l'estructura de la taula i l'alineació. En aquest cas,

  "vc" 

  vol dir "vertical centrada". Podeu consultar l'ajuda per conèixer altres possibilitats del comandament Taula.

• Doneu mida i color a la taula de text que s'ha creat, situeu-la on us sembli convenient de la pantalla i associeu la taula a una casella de verificació, tal com es veu a la finestra activa.

Acabeu de posar els rètols que falten i altres detalls estètics… i així arribareu al final d'aquesta construcció on han sortit algunes novetats molt importants pel que fa a l'ús del full de càlcul i de la gestió del text en la finestra gràfica.

En la pràctica 4 del mòdul 6, ja ha sortit la funció de densitat de la Normal, des del punt de vista del càlcul de l'àrea que delimita. Aquí torna a sortir des del punt de vista probabilístic.

En primer lloc, us presentem una activitat didàctica concretada en la finestra activa següent.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Si desplaceu els punts lliscants, veureu que els gràfic de la Normal varia en funció de la mitjana i la desviació estàndard. També podeu calcular la probabilitat que la variable Normal X estigui entre dos valors concrets, movent els punts fixats sobre l'eix horitzontal. Aquest càlcul es pot visualitzar millor si activeu i desactiveu, consecutivament, les caselles de verificació corresponents al càlcul de les probabilitats a l'esquerra dels valors determinats pels punts que es mouen sobre l'eix horitzontal.

Per fer la construcció:

• Creeu els punts lliscants per a la mitjana (valors de -5 a 5, amb increment 0.1) i la desviació estàndard (valors de 0.1 a 5, també amb increment 0.1).
• Entreu la funció f(x)=1/(σ*sqrt(2*π))*ℯ^(-(0.5)*( (x-μ)/σ)²), que és l'expressió de la funció densitat d'una distribució Normal(μ,σ).
• Definiu dos punts A i B fixats sobre l'eix horitzontal. Feu que sempre B estigui a la dreta del punt A, per evitar incongruències.
• Definiu xa=x(A) i xb=x(B) com a valors numèrics a partir dels quals s'han de calcular les diferents probabilitats.
• Entreu pb=Normal[μ,σ,xb]. Ens dóna la probabilitat P(X<xb), on X és N(μ,σ).
  Entreu també pa= Normal[μ,σ,xa].
• Entreu pc=pb-pa. Aquest valor ens dóna la probabilitat que X estigui entre xa i xb.

Amb això ja n'hi hauria prou per calcular les probabilitats. Comproveu-ho desplaçant els punts A i B i fent variar els valors dels punts lliscants. Per a una millora estètica, farem servir també el comandament Integral[ ], per visualitzar les diferents zones que queden afectades per al càlcul de les probabilitats.

• Entreu Integral[f(x),xa,xb], Integral[f(x), -10, xa] i Integral[f(x), -10, xb].

Per definir els punts (μ-3σ,0), (μ-2σ,0), (μ-σ,0), (μ-3σ,0), (μ,0), (μ+σ,0), (μ+2σ,0) i (μ+3σ,0) que veieu a l'activitat que hem presentat acolorits de vermell, feu-ho amb el comandament Seqüència[(μ-j*σ,0),j,-3,3]. Doneu a la llista creada els aspectes de presentació que us interessin i això ja s'aplicarà a tots els punts.

• Per als rètols μ-3σ, μ-2σ, μ-σ, μ-3σ, μ, μ+σ, μ+2σ, μ+3σ aconsellem fer-los d'un en un amb l'eina Insereix Text⁴⁾, col·locar-los cada un on escaigui, seleccionar-los tots alhora i acolorir-los convenientment.

A continuació, entrareu els rètols que ens mostren les probabilitats calculades a partir de les primeres coordenades dels punts A i B.

• Amb l'eina Insereix text de textos dinàmics seleccionada, entreu el text per mostrar el rètol corresponent a P(xa< X < xb) = P(X < xb) - P(X < xa) = pc
• De nou, recordeu el que hem explicat a l'Annex del mòdul 3, i de manera ràpida enganxeu el següent text a la línia d'entrada de comandaments:
  

"P("+xa+" < X < "+xb+") = P(X < "+xb+") - P(X < "+xa+") = "+pc

• Com podeu comprovar, esteu escrivint el càlcul de la probabilitat com una diferència entre les probabilitats a l'esquerra dels valors donats.
• Amb la mateixa eina seleccionada, podeu escriure

  "P(X < "+xa+") = "+pa

  i

  "P(X < "+xb+") = "+pb

  , per tal que es vegin els càlculs de les probabilitats laterals.

• Creeu les caselles de verificació que es veuen a la finestra activa tenint en compte que:
  • Les tres de la segona fila tenen l'etiqueta invisible. Heu d'inserir textos que facin el paper de les etiquetes, però que puguin tenir un contingut variable.
  • Els rètols dels càlculs només han d'estar visibles si estan activades simultàniament la casella Càlculs i la corresponent de la segona fila.

Acabeu els detalls estètics i comproveu que funciona correctament.

És clar que l'activitat que acabem de presentar està enfocada, eminentment, des d'un punt de vista didàctic. Tot i que intentar visualitzar en una mateixa finestra qualsevol problema pràctic seria innecessàriament complicat (perquè no afegiria res a la visió didàctica que acabem de donar), hem de tenir clar que les eines del GeoGebra ens permeten resoldre qualsevol problema pràctic relatiu a la distribució normal. Vegem-ne un exemple.

• En una prova de selecció es fa un test que puntua sobre 1000 punts. Hem mirat les dades de la convocatòria anterior i hem vist que la mitjana va ser de 624 punts i la desviació estàndard de 123 punts. Suposant que en aquesta convocatòria el rendiment tindrà el mateix model estadístic:
  • Si les persones que no arriben a 500 punts ja queden eliminades del procés de selecció, quin percentatge podem inferir que seran eliminats?
  • Si les persones que superem els 800 punts en aquesta prova ja queden admeses, quin percentatge podem inferir que compliran aquesta condició?
  • Si el 2% dels participants que obtenen millor puntuació reben una menció especial, quina es pot pensar que serà la puntuació de tall per rebre aquesta distinció?

Vegem quins serien els comandaments o recursos de GeoGebra adequats per resoldre aquest problema.

• Obrim una finestra nova. A la finestra algebraica, definim µ=624 i σ=123.
• Per resoldre la primera qüestió n'hi ha prou amb fer Normal[µ,σ,500]. Si posem l'arrodoniment a 3 xifres decimals la resposta és 0.157, és a dir que podem inferir que el 15.7% no arribaran als 500 punts.
• Per resoldre la segona qüestió farem Normal[µ,σ,800] i obtenim 0.924. Aquesta és la probabilitat de no arribar a 800; per tant, podem inferir que la de l'esdeveniment contrari és 1-0.924=0.076, és a dir el 7.6%.
• Vegeu que amb els càlculs anteriors ja tindríem, amb una senzilla resta, la resposta a la qüestió: Si les persones que obtenen entre 500 i 800 punts han de fer una segona prova, quin percentatge dels participants hem de suposar que es trobaran en aquesta circumstància?
• Per a la pregunta inversa ens estem preguntant per a quin valor t de la puntuació de tall, com que Normal ens dóna probabilitats a l'esquerra i volem que a la dreta hi quedi el 2%, o sigui 0.02, es compleix Normal[µ,σ,t]=0.98.
  • Podem pensar en definir un punt lliscant t amb límits entre 800 i 1000 (per exemple), després entrar Normal[µ,σ,t] i observar-ne el valor, movent t, fins que obtinguem el resultat que volem. Si ho feu, veureu que per t aproximadament igual a 877 es compleix el que volem. Si poseu més decimals en l'arrodoniment podreu precisar més, però…
  • …però heu de saber que tenim un comandament que ens dóna directament la resposta que amb el punt lliscant hem trobat experimentalment: InversaNormal[µ,σ,p] ens dóna el valor de la variable per al qual la probabilitat a l'esquerra és p. Així doncs, en aquest cas ens interessa InversaNormal[µ,σ,0.98] que ens dóna 876.611.

Per acabar aquesta pràctica, relacionarem les dues distribucions estudiades. L'objectiu és visualitzar com es pot aproximar el càlcul de probabilitats en un problema que segueix el model Binomial, mitjançant la Normal. D'entrada, ens trobem amb la dificultat de voler aproximar un model de distribució discreta per un altre de distribució contínua. Aquest aspecte, i d'altres, fan que en determinades circumstàncies l'aproximació no sigui prou bona. En general es pot pensar que si np≥5 i nq≥5, l'aproximació ja és acceptable. Ara bé, hi ha tractats d'estadística que, amb la idea d'obtenir un grau de fiabilitat més gran, imposen la condició np≥15 i nq≥15.

Matemàticament, el raonament que farem servir serà el següent:

Aquest 0.5 que surt a la fórmula anterior és l'anomenada correcció de continuïtat. En la nostra construcció es concretarà en el pas del diagrama de barres a l'histograma, de manera que la base de cada rectangle anirà del valor k-0.5 fins al k+0.5 i, per tant, tindrà longitud 1.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Investigueu el funcionament de la finestra anterior i comproveu-ne el grau d'aproximació.

Per fer la construcció:

Heu de tenir en compte alguns detalls que ja han sortit en els apartats anteriors.

• Creeu els punts lliscants p i n amb les propietats que tenen a la finestra activa anterior.

A continuació heu de crear els punts lliscants r i t per fixar els extrems de l'interval per al qual es calcularan les probabilitats. Ara bé, Els valors de r i t no poden ser més grans que n. Per tant, haurem de fer-ho d'una manera una mica diferent.

• Creueu, inicialment, dos punts lliscants, que anomenareu r i t i que agafaran valors enters des del 0 fins al 12.
• Feu que no es vegin les seves etiquetes.
• Definiu rr=Mín[r,n] i tt=Mín[t,n]. Aquests valors seran els que tindrem en compte a l'hora de fixar els intervals. És evident que mai seran més grans que n.
• Introduïu els textos dinàmics i situeu-los com si fossin les etiquetes dels punts lliscants r i t.

<code>"r = " + rr</code> 

<code>"t = " + tt</code>

• Aquests textos faran el paper de les etiquetes dels punts lliscants, encara que no es desplacin amb ells.
• Aneu a les Propietats del primer text i, a la fitxa dels colors dinàmics, situeu la condició r > n al roig. Feu el mateix amb t > n amb el segon. D'aquesta manera, si desplacem els punts lliscants massa a la dreta, el color vermell ens avisarà que hem superat el valor de n.

Continueu la construcció.

• Entreu a les cel·les del rang A1:B14 els mateixos valors i les mateixes fórmules que teníeu en el full de càlcul corresponent al primer apartat d'aquesta pràctica.
• Creeu les llistes L_1 i L_2 amb els continguts de les columnes A i B, com ho heu fet en el primer apartat.
• Entreu DiagramadeBarres[L_1, L_2, 0.2] per dibuixar el diagrama de barres de la Binomial. En aquest cas, hem posat una amplada de 0.2 per subratllar més la diferència entre aquest diagrama i l'histograma.

El GeoGebra permet entrar directament l'expressió que ens donarà l'histograma de freqüències que ens ajudarà a visualitzar l'aproximació. Com ja hem dit abans, fem que la base de cada rectangle de l'histograma mesuri 1. D'aquesta manera, numèricament, l'àrea serà igual a l'altura, i així podem fer el pas de la discreta cap a la contínua. L'expressió és:

• Entreu
  DiagramadeBarres[-0.5,n+0.5,Seqüència[n!/(k!*(n - k)!)*p^k*(1-p)^(n-k),k,0,n]].

• Entreu la funció f(x)=1/sqrt(n*p*(1-p)*2*π)*ℯ^(-(0.5)*( (x-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)))²). Està adaptada a la mitjana i desviació estàndard necessàries per fer l'aproximació.

• Definiu, per comoditat, mi=Mín[rr,tt] i ma=Màx[rr,tt].
• Entreu g=Integral[f(x),mi-0.5,ma+0.5]. Ens servirà, al mateix temps, per pintar la zona requerida i per calcular la probabilitat. Ja sabeu que també teniu el comandament Normal[ ] que heu fet servir en l'apartat anterior, per calcular la probabilitat.

Per calcular les probabilitats discretes definirem una llista nova:

• Entreu LS=Tria[L_2, mi + 1, ma + 1]. En aquesta llista tindrem les probabilitats corresponents des del valor mi fins al ma, ambdós inclosos.
• A continuació, definiu s=Suma[LS]. Ja teniu la suma de probabilitats discretes calculada.

Amb tots aquestes indicacions fonamentals, ja podeu acabar la construcció pel vostre compte, utilitzant detalls i conceptes que heu vist anteriorment.