En aquesta pràctica veurem que la generació de nombres aleatoris, juntament amb la possibilitat de treballar amb llistes (combinades o no amb l'ús del full de càlcul) i els recursos gràfics del GeoGebra, ens poden ajudar a presentar interessants activitats de simulació que farem visuals amb l'ajut dels punts lliscants.

Tot plegat, naturalment, s'emmarca de manera natural en la introducció del concepte de probabilitat, com és ara el tractament d'aquest problema:

Les persones que feu aquest curs, segurament ja teniu recursos per deduir quina és la solució del problema: π/4.

En aquesta activitat donarem idees encaminades a la recerca empírica de la solució del problema i, per tant, aconseguirem una aproximació del valor de π: només caldrà multiplicar la "probabilitat empírica" per 4. I per arribar a aquesta estimació de la probabilitat estarem treballant la Lei empírica de l'atzar.

Explicarem l'elaboració de l'activitat en diverses fases, del tot lligades a idees didàctiques en la presentació del tema.

En problemes de probabilitat sempre és interessant de suggerir, durant les nostres classes, una simulació manual: "Tireu el dau 50 vegades i anoteu els resultats", o bé "Tireu 50 xinxetes enlaire i anoteu si cauen de punxa o tombades".

Per a la situació plantejada és difícil fer una simulació realment "manual", però, tot i això, demanarem al GeoGebra que ens ajudi per fer un recompte (en primera instància, "manual") dels resultats en 50 repeticions (o les que es creguin convenient) de l'experiment.

La primera part del nostre experiment consisteix en fer aparèixer un punt a l'atzar en un quadrat, i observar si queda o no dins del quadrant del cercle que té per radi el costat d'aquest quadrat.

• "Entreu" a la finestra activa següent, tot recordant que amb la icona d'actualització, o amb F9 o Ctrl+R, podreu anar fent noves eleccions del punt, i compteu la proporció de vegades que el punt cau dintre del quadrant del cercle acolorit.
• Si feu realment unes quantes repeticions, compteu "a ull" el nombre d'encerts i aleshores multipliqueu per 4 la proporció d'èxits que heu obtingut, tindreu una primera aproximació de π.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Construcció

En altres pràctiques heu treballat amb el comandament AleatoriEntre[ ], però ara farem servir "la funció mare", és a dir random( ), que ens dóna un nombre aleatori en l'interval [0,1).

• Pot ser interessant treballar amb les etiquetes desactivades: Opcions |Etiquetes | No etiquetis objectes nous.
• Entreu els punts A=(0,0) i B=(1,0).
• Amb l'eina Polígon regular, dibuixeu un quadrat que tingui per costat AB. Feu algun zoom de la zona gràfica per ampliar el quadrat.
• Amb l'eina Sector circular donat el centre i els dos extrems dibuixeu el quadrant de cercle i doneu-li un color diferent del del quadrat, de tons blaus en l'activitat tal com l'hem mostrat.
• Per entrar random( ), vigileu perquè la funció random s'ha d'entrar amb parèntesis, com totes les funcions, però sense cap argument. Definiu un punt P = (random( ), random( )), que serà un punt aleatori en el quadrat unitat.
• Aneu prement F9 o Ctrl+R per veure que tot funciona.

Ja heu vist en l'experimentació que el punt s'acoloreix de manera diferent si pertany al quadrant de cercle o si no hi pertany. Per comprovar la condició que ens dirà si el punt pertany o no al quadrant és interessant definir la distància del punt P al centre del quadrant, que és el punt (0,0).

• Escriviu doncs a la línia d'entrada dist=Distància[P, (0,0)].
• Ara acolorirem el punt que triem aleatòriament: blau si queda a dintre del quadrant, roig si queda a fora. Per fer-ho aneu a les propietats del punt, pestanya Avançat i, al requadre de Colors dinàmics, escriviu:
  • A la casella del vermell: dist>1¹⁾ que farà que el punt quedi vermell si és a una distància superior a 1 del vèrtex inferior esquerre del quadrat, és a dir que quedarà fora del quadrant
  • A la casella del verd, poseu-hi 0.
  • Finalment, a la casella del blau, dist≤1, i així quan "encertem" el punt es veurà blau.

Guardeu la feina, perquè més endavant anirem completant l'activitat.

Quan ja s'ha dedicat una estona a la pràctica manual, de seguida sorgeix la idea de "…i si fem que l'ordinador ho compti?"

Això és el que s'ha aconseguit en l'activitat següent, amb la qual us proposem que practiqueu.

• Tal com la veieu, l'activitat està prevista per a un màxim de 300 tirades.

• Cada vegada que premeu F9 o Ctrl+R, o bé si cliqueu sobre la icona d'actualització es genera aleatòriament una llista amb les coordenades de 300 punts nous. Amb el punt lliscant, amb animació o sense, podeu anar veient els punts successivament i el recompte parcial, corresponent als punts que s'han mostrat.²⁾

• Torneu a actualitzar la finestra i obtindreu uns altres 300 punts nous a l'atzar que podreu anar mostrant amb el moviment del punt lliscant.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Construcció

Trobareu com a novetats principals que es genera, en primer lloc, la llista de tots els punts aleatoris; d'aquesta llista se'n seleccionen dues, la "d'èxits" i la de "no èxits", que s'acoloreixen diferent per mostrar-les i que es fa el recompte de freqüència relativa amb un recurs nou de les llistes: ComptaSi.

• Podeu aprofitar l'activitat tal com la teníeu fins ara en la primera versió. Podeu esborrar el punt P, que ara no farem servir.

• Per generar la llista de tots els punts aleatoris d'una simulació:
  L = Seqüència[(random(), random()), i, 1, 300].
  Ja sabeu com ho heu de fer per a una altra simulació; proveu-ho!³⁾

• Després de la definició queden tots els punts de la llista a la vista, cosa que no interessa perquè els volem mostrar progressivament. Aneu a les propietats de la llista L i feu que no es mostri l'objecte que, recordeu-ho, és un objecte únic.

Tot seguit farem això que acabem de dir, mostrar successivament els punts de la llista, però com que a més volem que els punts que queden al quadrant es vegin de color blau i els que queden a fora, vermells, haurem de fer dues llistes, una dels "punts blaus" i una altra dels "punts vermells".⁴⁾

• Creeu el punt lliscant n amb valors enters des de l'1 fins al 300. Feu que agafi un valor al voltant del 10, per exemple, per entendre millor el procés de construcció.
  • Si la voleu fer servir, activeu l'animació amb Repeteix: ⇒ creixent, però si és així, deixeu-la en pausa.
  • O si O si ho creieu més convenient escolliu l'opció "Repeteix:Creixent ⇒ (només una vegada)"
  • A la presentació que heu vist, hem donat al punt lliscant amplada = 500.

• Creeu la llista Lblau=Seqüència[Si[Distància[Element[L,i],A]≤1,Element[L, i]],i,1,n].
  És la llista dels punts que queden situats dins del quadrant.
  • Observeu que l'hem fet a partir de la llista L de tots els punts. Hem escrit la condició que la distància entre cada element de la llista Li el punt A =(0,0) sigui més petita o igual que 1. Els punts que ho compleixen són els que seleccionem per a la nova llista; per als punts que no ho compleixen, no definim alternativa. Aprofitem els recursos del GeoGebra per al tractament de no definits i els deixem sense definir. Veureu que queden marcats a la llista com (?,?).
  • Doneu a aquesta llista el color blau.
• De manera anàloga, definiu la llista dels punts que queden fora del quart de cercle
  Lroig=Seqüència[Si[Distància[Element[L,i],A]>1,Element[L,i]],i,1,n].
  • Doneu color vermell a aquesta llista; ja s'aplica a tots els elements que la formen.

Encara ens queda per ordenar al GeoGebra que faci el compte d'èxits, és a dir, quants punts definits hi ha a la llista Lblau. Es podria fer de maneres diverses⁵⁾, però hem triat la que possiblement pot oferir més possibilitats d'aplicació a altres situacions.

• Es tracta de l'ús del comandament ComptaSi[condició, llista] que fa el recompte de quants elements d'una llista compleixen una propietat. Tanmateix, es dóna el cas que de moment, el comandament ComptaSi només es pot aplicar a llistes numèriques; la condició s'expressa sempre en funció de x, que vol dir "el valor del terme".
  • Crearem doncs una llista numèrica a partir de la llista L que expressi les distàncies de cada punt de la llista al punt A=(0,0), que és el centre del cercle del qual considerem el quadrant.
    Ldist=Seqüència[ Distància[Element[L,i],A], i, 1, n].
  • D'aquesta llista es poden seleccionar els primers n elements amb el comandament Primer[Ldist, n], que ja escriureu directament al comandament següent i, d'aquest manera, no s'aniran creant còpies innecessàries de llistes.
  • Per fer el compte podeu entrar directament el valor numèric
    F = ComptaSi[x≤1, Primer[Ldist,n]], que compta quants dels n primers elements de la llista sencera de distàncies, Ldist, compleixen la propietat que són dintre del quadrant.
  • Observeu que aquest valor numèric F fa el recompte de la freqüència absoluta d'èxits en les n primeres tirades, i s'anirà actualitzant a mesura que movem el punt lliscant.

• Entreu els textos i acabeu els detalls estètics de la manera habitual.
  • En aquest cas, perquè la π aparegui com l'acabeu de veure, que és l'estàndard internacional per representar-la, a les propietats de cada text, hem triat Fórmula LaTeX.

Feu algunes proves de tota l'experiència de 300 tirades. Abans de fer una nova prova poseu el punt lliscant a n=1 i després actualitzeu o F9.

Si veieu que tot funciona, guardeu la feina, perquè encara falta un nou aspecte que completarà acuradament la visió del tema.

Comentari: Veureu que en aquesta pràctica es treballa amb llistes creades directament a la finestra algebraica. Ja hem comentat en les dues pràctiques anteriors l'equivalència entre una llista i un rang del full de càlcul. En aquest cas s'hagués pogut fer també l'activitat treballant en diverses columnes del full de càlcul. Aleshores, el comandament Seqüència produeix el mateix efecte que una definició adequada d'una fórmula i copiar-la a tot el rang que interessi.

Aprofitarem la feina de simulació que ja tenim feta per elaborar un gràfic que mostri l'evolució de la freqüència relativa d'èxits i el fet que, tal com indica la llei empírica de l'atzar, es va acostant a la probabilitat. Ja sabeu que aquesta llei assegura que si repetim un experiment aleatori "moltes i moltes vegades", o bé "de manera indefinida", digueu-ho com vulgueu, la freqüència relativa d'un determinat esdeveniment tendeix a la seva probabilitat.

Si tornem a l'exemple que estem treballant, ja hem comentat que la probabilitat que un punt escollit a l'atzar se situï dins del quadrant de cercle és igual al quocient entre la seva àrea i la del quadrat, és a dir, π/4.

Ànim! Practiqueu en la finestra següent on podreu observar, gràficament, que la freqüència relativa de l'esdeveniment quedar el punt escollit dins del quadrant de cercle tendeix a π/4, que és la probabilitat que això passi.

• Hi tendeix realment? Cal una observació prèvia i que s'ha de fer insistentment: 300 repeticions d'un experiment, com les que es consideren, no són "moltes i moltes", són més aviat, pel que fa a les simulacions, "molt poques" i això es constatarà perquè de vegades l'aproximació no serà gens acurada.
• Vegeu que el punt lliscant de la n, que marca el nombre de tirades, s'ha fet procurant ajustar a l'escala de l'eix x auxiliar que hem dibuixat.
• En aquest cas, és recomanable fer servir sempre la icona de recomençar per fer repeticions de l'experiment. Però, en canvi, mentre esteu elaborant l'activitat i treballeu amb el programa en local, per fer una nova repetició convindrà posar el punt lliscant de la n a 1, fer Ctrl+F per esborrar el traç del punt que serveix per generar la gràfica i després F9, o bé Ctrl+R per recalcular els nombres aleatoris.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Per continuar l'activitat tal com la teníeu, començarem per dissenyar els eixos on mostrarem la gràfica "de la llei empírica de l'atzar".

• Com que tenim el quadrat situat justament a l'origen de coordenades, ha semblat convenient dissenyar els eixos a part. Això ensenyarà com fer-ho en aquesta i en altres ocasions. La imatge següent mostra com volem el quadrat i la gràfica i la seva situació respecte als eixos de GeoGebra.
  

• Suggerim definir els segments que determinen els "eixos blaus" a la línia d'entrada; d'aquesta manera no tindrem punts auxiliars que després voldríem esborrar:
  Segment[(1.5,0), (3.6,0)]         Segment[(1.5,0), (1.5,1.2)].
  Doneu color blau a aquests segments.

• Ratlletes de l'eix horitzontal: Seqüència[Segment[(i, -0.03), (i, 0)], i, 1.5, 3.5, 0.5]
  Ratlletes de l'eix vertical: Seqüència[Segment[(1.5, i), (1.47, i)], i, 0, 1, 0.2].
  Doneu color blau a aquestes dues llistes.

• Com que els rètols dels eixos auxiliars són fixos i no n'hi ha molts (75, 150, 225, 300 per una banda, i 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 per l'altra) aconsellem fer-los a mà amb Insereix text.
  

També hi tenim dibuixat un segment que mostra l'aproximació de la freqüència relativa al valor de la probabilitat.

• És el Segment[(1.5, 0.79), (3.6, 0.79)] que, perquè destaqui bé, hem fet de color vermell i amb Estil de línia de punts, però amb una mida gran.

Convé adequar el punt lliscant que genera les successives tirades i posar-lo de manera que il·lustri bé l'activitat.

• Moveu-lo a mà i situeu-lo a sota de l'eix auxiliar de les x.

• Aneu a les Propietats del punt lliscant i doneu-li una amplada adequada perquè, justament, s'adapti a sota de l'eix des de la tirada 1 a la tirada 300.⁶⁾

A part de posar els rètols al lloc adequat de la pantalla, ja només ens queda definir el punt que generarà el gràfic.

• El punt que generarà el gràfic és el punt P = (1.5 + n / 150, F/n).
  Explicació:
  • La y del punt ha de ser el valor de la freqüència relativa per cada valor de n. Recordeu que per cada valor de n ja tenim comptada en la segona part de l'activitat la freqüència absoluta d'èxits. És la variable F, que en realitat és funció de n i es va actualitzant a mesura que movem el punt lliscant. La freqüència relativa d'èxits, per a cada valor de n, vindrà donada doncs per F/n.
  • Les 300 tirades ocupen 2 unitats de l'eix horitzontal, i per això, per cada tirada, haurem d'avançar n/150 en l'eix x, i com que ho fem a partir de x=1.5 per això el punt ha de ser el que hem indicat.

• Activeu el traç d'aquest punt i mireu si tot funciona…

Si és així, ja tindreu la pràctica acabada.