Com que el Geogebra 4 també ens permet treballar amb inequacions, us plantegem la resolució d'un problema de les PAU de la sèrie 6 de l'any 1995 amb el GeoGebra.

L'enunciat deia així:

• Escriviu la primera de les tres inequacions a la línia d'entrada¹⁾
• Veureu com el GeoGebra representa a la finestra gràfica la regió corresponent
• Entreu les altres dues inequacions i el punt A=(2,2)

Hauríeu d'obtenir un resultat similar a

Si proveu d'aplicar estils visuals

podeu donar-hi una mica de colors i obtenir imatges com ara:

• Proveu de moure el punt A
• Aquesta activitat es podria mirar de completar fent que aparegui un missatge condicionat. Més endavant ens hi posarem….

La següent imatge us mostra algunes opcions per a ombrejar una regió. Si escolliu l'opció Ratllat podreu experimentar canviant l'angle d'inclinació d'aquestes ratlles i l'espaiament.

I volem completar aquesta observació que us estem fent: presteu atenció a l'opció Inverteix l'ombrejat.
Per pensar-hi una mica….

A més, si convé, podeu configurar-vos el GeoGebra a mida i accedir a les Preferències per defecte, cercant la icona
i podeu canviar la configuració:

Tot seguit us presentem una altra opció: un botó anomenat Punt en un objecte i el nou comandament PuntPertanyRegió[ <Punt>, <Regió> ]. Vegem-los i penseu en les opcions que ens permet de cara a fer construccions didàctiques:

• Obriu una nova construcció amb el GeoGebra.
• Escriviu les tres inequacions a la línia d'entrada separades per l'operador lògic ∧.

• S'ha creat la regió determinada per les tres inequacions (ara, però, és un únic objecte i no podeu colorejar, per separat, les regions que l'integren). El GeoGebra l'haurà etiquetat com a regió a.
• Tot seguit useu el botó Punt en un objecte i feu clic dins de la regió.
• S'ha creat un nou punt A.
• Proveu de moure el punt A acabat de crear.
• Observeu que aquest punt només es pot moure dins la regió factible.

• Entreu un nou punt exterior a la regió, per exemple B=(3,3).
• A la línia d'entrada escriviu PuntPertanyRegió[B,a]
• Comproveu que a la vista algebraica s'ha creat un nou objecte booleà b amb valor "false".
• Comproveu com canvia el valor de b en moure el punt B i varia de "false" a "true" si aquest pertany a la regió que hem creat…

És evident que això ens pot ajudar quan volem mostrar textos condicionats…
La següent imatge us mostra el que hem explicat amb la regió ombrejada amb un ratllat:

I ja per acabar aquest apartat us volem mostrar un comandament ben interessant, es tracta de
Vèrtex[ <Inequació> ].
En la següent imatge us mostrem l'efecte que aconseguim sobre la regió que hem treballat, on hem utilitzat Vèrtex[a], per referir-nos a la regió a.



I si ho voleu, proveu d'escriure-ho en un únic comandament per a una altra regió: Vertex[(x + y < 3) && (x - y > 1)].

Tot seguit us enumerem altres tipus de desigualtats per tal que pugueu experimentar-hi una mica:

• inequacions polinòmiques en una variable: x^3 > x + 1 o bé y^2>y
• inequacions de segon grau en dues variables: x^2 + y^2 + xy ≤ 4
• inequacions lineals en una variable: 2x > sin(y) o bé y < sqrt(x)

Tingueu present que per a les inequacions podeu utilitzar els símbols <, >, ≤ i ≥ . Així com també els símbols <= i >= que també són vàlids. Podeu fer interseccions d'inequacions: (x>y)&&(x+y<3).

Per últim, us volem mostrar les possibilitats gràfiques dels intervals (que el GeoGebra en els objectes considera com a inequacions).

Per crear un interval, escriviu 2 < x < 3 a la línia d'entrada. Haureu creat un interval obert. També el podeu definir tancat: (2 ≤ x ≤ 3) o semi-oberts o semi-tancats: (2 ≤ x < 3).

I en aquests casos, si accediu a les propietats de la inequació, a la pestanya Estil podreu marcar l'opció Mostra a l'eix X com podeu veure en la imatge:

En un curs d'introducció al GeoGebra com el que esteu acabant, és impossible il·lustrar totes les possibilitats del programa, que només acabareu de conèixer després d'una investigació personal llarga i constant. Als Fòrums d'usuaris, al GeoGebraTube, o buscant altres pàgines amb activitats del GeoGebra, veureu propostes molt i molt interessants.

En aquesta pràctica es donen algunes idees per a un treball visual que pot ajudar a presentar el tema de la programació lineal. És per això que aquesta part sobre programació lineal, la podeu considerar d'ampliació.

En la pantalla següent del GeoGebra podeu experimentar per tal de fer visual que una recta ax + by = c divideix en pla en dos semiplans que –incloent en cada un la recta– són les solucions de les inequacions ax + by ≥ c i ax + by ≤ c.

• Moveu el punt A i observeu.
• Canvieu els valors dels coeficients que defineixen la recta i observeu.
• Observeu que la construcció té algunes mancances, només es tracta d'un esborrany de treball que pretén fer observar alguns punts concrets:
• Un punt "delicat" és com fer aparèixer el signe de la desigualtat quan es mou el punt A. Si experimenteu una mica podreu veure que caldria un segon text dinàmic que es mostrés només sota certes condicions.
• També és convenient evitar que apareguin expressions del tipus 4 x + - 5 y = 3.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció pertal d'acabar la feina?

Tot seguit us fem saber alguns dels punts a tenir en compte en aquesta construcció:

• Per tal de poder moure-us, quan us interessi, exactament a punts sobre una recta de coeficients enters, és convenient que feu que la graella sigui visible i que Opcions|Captura de punts estigui actiu.
  

• Definició de la inequació (i de la recta associada):
  • De la manera que ja sabeu a bastament, definiu tres punts lliscants a, b i c que han de representar els coeficients de la recta ax + by = c. Poseu-hi els intervals de variació i l'increment que us semblin més adients. Suggerim increment 1 si es vol treballar amb nombres enters.
  • Escriviu a la finestra d'entrada de comandaments r_1: ax + by > c i ja tindreu la regió dibuixada. Accediu al quadre de propietats de la inequació i doneu-li la presentació que us interessi.
  • Per últim, com que es voldran trobar els punts que són interseccions de semiplans, caldrà treballar amb interseccions de les rectes associades. Per tant caldrà que també les considereu com objectes (que podeu mostrar o no).
  • En treballar amb la regió r_1: ax + by > c , convé també treballar amb la recta associada s_1: ax + by = c .

• Punt mòbil i primer rètol que indica quina inequació es compleix:
  • Amb l'eina Punt nou definiu un punt A, que serà el que mourem per visualitzar experimentalment quin és el conjunt de solucions d'una inequació.
  • Creeu un text dinàmic que mostri els valors de la inequació en el punt A.
  • Podeu fixar la posició del text dinàmic fent que el punt d'origen sigui A.
  • El numèric m: a x(A) + b y(A) el podrem fer servir per saber quan es compleix una condició per tal de mostrar un text de manera condicionada.

Tot seguit us mostrem una imatge amb alguns dels passos de la construcció.
Presteu especial atenció al text dinàmic que ens permet que s'escrigui de manera correcta la inequació. Evitant així que apareguin expressions del tipus 4 x + - 5 y = 3.
Però pareu també atenció al fet que, com que la construcció no està acabada, els valors que es mostren per a la inequació no són certs! Experimenteu en l'applet d'abans … Ja heu trobat una de les errades o millores?

Tingueu en compte que amb les lletres que us mostrem el text1 només s'hauria de mostrar quan es compleix la condició m > -1, altrament caldrà pensar quin és el text a mostrar…

Guardeu la feina i, si us animeu, practiqueu-ho repetidament per acabar l'activitat. Tingueu en compte, com us hem dit, que manquen textos condicionats. No està pas acabada!

Tot seguit teniu una proposta feta per en Pep Bujosa i penjada al GeoGebraTube.

Amb aquesta construcció, podeu practicar diferents exercicis de programació lineal.

A la finestra de la dreta entrareu totes les dades necessàries de les restriccions i podreu triar les diferents opcions. A la finestra gràfica podreu moure el punt P i entrar i moure la funció objectiu i, d'aquesta manera, observar els diferents valors que van agafant.

Podeu visualitzar la construcció original sortint dels materials i potser us serà més còmode (la podreu maximitzar). La teniu a http://www.geogebratube.org/student/m1457

I si el que voleu és descarregar-vos aquesta construcció, seguiu l'enllaç.

Estudieu aquesta activitat, hi ha molta feina al darrere!