Si consultem l'ajuda del programa GeoGebra pel que fa a les integrals, trobarem les següents entrades (encara sense traduir):

• Integral[ <Funció> ]
• Integral[ <Funció>, <Variable> ]
• Integral[ <Funció>, <Valor x inicial>, <Valor x final> ]

Observeu que l'ajuda permet veure quins són els arguments, i en quin ordre cal introduir-los. En aquesta pràctica, de manera breu, també esmentarem les diferències de funcionament d'aquests comandaments i hi treballem en la Finestra CAS.

• També és important tenir en compte el comandament
  IntegralEntre[ <Funció>, <Funció>, <Valor x inicial>, <Valor x final> ]

En aquesta pràctica experimentarem amb aquests comandaments i observarem l'excel·lent informació gràfica que ens dóna GeoGebra quan apliquem el comandament Integral[ ].

Primer de tot veureu que és molt ràpid elaborar una activitat en què es constata visualment què és el que es calcula quan es troba el valor d'una integral definida i, en canvi, què cal considerar per calcular l'àrea entre una corba, l'eix de les x i les rectes x=a i x=b en el cas que hi hagi diferents zones en l'àrea per calcular. Podria ser molt interessant pensar en el càlcul i la visualització de l'àrea entre dues corbes.

Continuarem amb una presentació que ajudarà, sens dubte, en les nostres classes d'introducció al concepte d'integral. Constatarem novament que els recursos de GeoGebra ens ajuden molt i molt.

Finalment es comentarà el fet que hi ha incorporats al programa recursos per al càlcul numèric d'integrals, que es concretaran en la situació d'aplicació més repetida que necessita aquests recursos: l'estudi de la distribució normal.

Ja heu llegit que el comandament fonamental per al càlcul integral és Integral[ ].

• Si introduïu a la línia d'entrada de comandaments, i amb un sol argument, Integral[f], es calcula una funció primitiva. Observeu que la primitiva s'escriu sense la constant d'integració i amb una presentació de coeficients o una formulació que no sempre és la que demanaríem "a mà" al nostre alumnat. Si la primitiva no es pot calcular apareix un objecte no definit.
• En canvi, si el mateix comandament Integral[] l'introduïu a la finestra CAS, la calculadora simbòlica algebraica entra en marxa i fa els càlculs de la manera esperada…
• La següent imatge mostra a la part esquerra l'ús del comandament en la finestra algebraica, i a la dreta en la finestra CAS.
  Proveu d'escriure Integral[3x^5-4x^2+2] a la línia d'entrada i la finestra CAS i constateu les diferències que mostra la següent imatge:

• Amb tres arguments es calculen integrals definides. I és evident quins són aquests arguments: Integral[ <Funció>, <Valor x inicial>, <Valor x final> ].

I tot seguit una curiositat:

• Proveu d'escriure f(x) = (x - 2)² - 1, g(x) = x + 4, i acabeu amb Integral[f, g, 1, 2] observeu el resultat gràfic i un nou valor numèric a la finestra algebraica. La definició d'aquest camp numèric ara val IntegralEntre[f, g, 1, 2].
  
  

Per tant, el comandament IntegralEntre[f, g, a, b] retorna la integral definida de la diferència f(x)-g(x) en l'interval [a,b]. Fixeu-vos, a més, en l'ombrejat que apareix i el valor numèric a la finestra algebraica.

Comenceu per fer algunes pràctiques amb funcions diverses i veureu de seguida que, a part de fer els càlculs, la visió gràfica que incorpora el comandament és ben interessant.

• Quan es calcula una primitiva, encara que no estigui dibuixada la funció que integrem, es dibuixa sempre una funció integral.
• Quan es calcula una integral definida s'acoloreix la zona que correspon al càlcul realitzat.

Ja sabeu que, per a la definició de la funció integral les àrees que estan per sobre de l'eix d'abscisses es computen com a positives i les que estan per sota de l'eix es prenen negativament. Per això és interessant visualitzar, tot seguit, la diferència formal.

A continuació es presenta una activitat per visualitzar què es calcula quan es fa la integral d'una funció entre x=a i x=b ¹⁾ i diferenciar-ho ben clarament del càlcul de l'àrea sota la corba, que és el valor absolut de l'àrea.

• S'ha fet per a la funció f(x)=x²-4x+3, però (a part d'aspectes de presentació) no hi ha cap diferència per fer-ho amb una altra funció. Només caldrà canviar la funció a la finestra algebraica.
• Es calcula i es poden visualitzar, o no:
  • la integral des de x=a fins a x=b donats per punts lliscants, calculada amb el comandament integral = Integral[f, a, b],
  • el valor de l'àrea total de les zones tancades compreses entre la corba, l'eix de les x i les rectes x=a i x=b, que es calcula mitjançant la integral definida del valor absolut de la funció, és a dir amb el comandament àreacorba = Integral[ abs(f(x)), a, b].

Aquesta activitat permet observar molt clarament les diferències entre allò que es calcula en un cas i en l'altre. Comproveu-ho activant les caselles de verificació i observeu els resultats a la finestra algebraica.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Proveu d'elaborar personalment aquesta activitat. Segur que a aquestes alçades del curs reeixireu en l'intent. Tanmateix, consulteu tots els dubtes o anomalies que es presentin.

I no ens n'hem pogut estar d'enllaçar-vos una construcció que ens sembla molt clara i ben elaborada:

http://lima.osu.edu/people/iboyadzhiev/GeoGebra/area.html

L'autora és Irina Boyadzhiev de la Ohio State University a Lima

Però el comandament integral no és l'únic de què disposa el programa, sinó que conseqüentment amb l'objectiu didàctic de la creació de GeoGebra disposem d'eines que reforcen la presentació del concepte d'integral definida.

En l'aplicació que teniu a la finestra activa següent podeu calcular la suma superior i la suma inferior corresponents a uns determinats límits d'integració i nombre d'intervals. Podeu variar els límits d'integració²⁾ i, mitjançant un punt lliscant, el nombre d'intervals. Observeu en cada cas la variació de les sumes, la diferència entre la suma superior i inferior, i la convergència d'ambdues cap a un valor fix: la integral definida.

Teniu a la disposició una casella d'entrada/sortida per editar la funció i poder-la canviar, o bé fer doble clic sobre la seva expressió a la finestra algebraica.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Comentem tot seguit com es fa la construcció. Deixeu la finestra algebraica oberta.

• Entreu la funció f(x) = x³ - 2 x² + 4.
• Fixeu dos punts, A i B, sobre l'eix d'abscisses.
• Definiu un punt lliscant a, només amb valors naturals de l'1 al 200, i situeu-lo al lloc que es veu a la finestra anterior. Aquest punt lliscant controlarà el nombre d'intervals. Feu que inicialment agafi el valor 3.
• Definiu les sumes superiors entrant el comandament SumaSuperior[f,x(A),x(B),a]. Observeu que automàticament s'han dibuixat els rectangles corresponents al nombre d'intervals indicat per a i que a la finestra algebraica es calcula aquesta suma superior.
• Feu el mateix amb la suma inferior, entrant el comandament SumaInferior[f,x(A),x(B),a].
• Moveu el punt lliscant i els punts A i B i observeu els resultats.
• Entreu el comandament Integral[f,x(A),x(B)]. Aquesta és la integral definida de f(x) entre les primeres coordenades de A i de B. Observeu que el seu valor apareix a la finestra algebraica.

Segur que no tindreu cap problema per escriure els primers textos que apareixen per visualitzar la informació a la finestra gràfica (cas que vulgueu presentar l'activitat amb la finestra algebraica tancada). A continuació, amb una imatge, expliquem el darrer rètol.

• Per al rètol de la integral definida és necessari activar l'opció Fórmula LaTeX, recordeu com es combinen textos fixos i valors variables:

Ànim amb la feina! No us oblideu de guardar-la!

No us oblideu tampoc de fer algun exemple en el qual el valor de la funció en un dels extrems sigui negatiu i reflexionar bé, en aquest cas, sobre què representen la suma superior i la suma inferior.

Què succeeix si, en les activitats anteriors, definíssim com a funció f una funció de la qual no es pogués calcular la primitiva?

Tot funcionaria exactament igual que el que hem vist excepte, naturalment, el dibuix de la funció integral, que apareixeria com un objecte no definit.

Això és així perquè el GeoGebra, llevat de la finestra CAS, incorpora mètodes numèrics per al càlcul de les integrals definides. Tot seguit, en teniu un exemple amb la distribució normal. Aquest exemple el completarem, més endavant amb la calculadora de probabilitats que incorpora el GeoGebra.

• Podeu modificar els valors de la mitjana i la desviació estàndard seleccionant les variables μ o σ a la finestra algebraica. Això es pot fer tant entrant el nou valor a mà després de fer-hi doble clic, com amb les Fletxes de cursor una vegada tenim seleccionada la variable que interessi.³⁾
• Podeu variar els límits de l'interval del qual es calcula la probabilitat movent els punts que el defineixen sobre l'eix de les x.
• Podeu fer que es mostrin, o no, els intervals centrats en la mitjana μ i de radis respectius σ, 2σ i 3σ que ja sabeu que tenen molta importància en l'estudi de la distribució normal.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Construcció de la corba que dóna la distribució normal:

• Definiu a la finestra d'entrada de comandes i funcions els valors que us interessin per a les dues variables μ i σ⁴⁾ que donaran la mitjana i la desviació estàndard. Podeu fer servir lletres gregues amb el desplegable corresponent. (Recordeu que aquests dos valors numèrics, per al GeoGebra són dos punts lliscants…)
• Recordeu també que la fórmula de la distribució normal és:
  

Podeu definir, doncs, f(x)=exp(-(x-μ)²/(2σ²))/(σ*sqrt(2*pi)) utilitzant el codi

 f(x)=exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))/(σ*sqrt(2*pi)) 

i ja tindreu dibuixada la corba normal. Doneu-li els aspectes de presentació del vostre gust.

• Podeu fer un rètol que indiqui aquests valors i donar-li la presentació convenient.

Definició de l'interval i càlcul de la probabilitat com una integral definida.

• Amb l'eina Punt nou definiu dos punts A i B sobre l'eix de les x.
• Per simplificar l'escriptura posterior podeu definir ara dues variables a=x(A) i b=x(B), que són els valors que determinen l'interval del qual ens interessa calcular la probabilitat.
• La probabilitat que la distribució normal que estudieu prengui un valor entre a i b és Integral[f,a,b]. Entreu aquest valor amb el nom c a la línia d'entrada de comandaments i ja tindreu calculada la probabilitat i dibuixada l'àrea que la representa. ⁵⁾
• També és interessant fer un rètol il·lustratiu adequat i situar-lo on interessi de la pantalla.

Finalment, per poder mostrar els punts μ-3σ, μ-2σ, μ-σ, μ-3σ, μ, μ+σ, μ+2σ, μ+3σ, ben interessants en l'estudi de la distribució normal, i situar-hi els rètols corresponents, fareu el següent:

• Definiu a la finestra d'entrada els punts (μ-3σ,0), (μ-2σ,0), (μ-σ,0), (μ,0), (μ+σ,0), (μ+2σ,0) i (μ+3σ,0).⁶⁾
• Seleccioneu tots aquests punts alhora i doneu-los els aspectes de presentació que us interessin.
• Escriviu cada un dels rètols μ-3σ, μ-2σ, μ-σ, μ-3σ, μ, μ+σ, μ+2σ, μ+3σ (amb el corresponent desplegable de lletres gregues). Col·loqueu cada un on escaigui. Seleccioneu-los tots alhora i acoloriu-los com us interessi.
• Per acabar, accediu a Edita | Propietats i associeu cada rètol al seu Punt origen. Acabeu de situar el rètol a mà.
• Creeu una Casella de control per mostrar/amagar els objectes en la qual posareu els set punts i els set rètols que acabeu de crear. En la pràctica que s'ha presentat li hem posat el títol d'Intervals però, naturalment, podeu posar-n'hi un altre que us sembli millor.

Guardeu la feina i practiqueu! No us oblideu de visualitzar en alguna ocasió la distribució normal estàndard i recordar i memoritzar quins són els valors de les probabilitats en els intervals [μ-3σ,μ+3σ], [μ-2σ,μ+2σ] i [μ-σ,μ+σ].

En aquesta darrera part de la pràctica i a mode de primera aproximació, us mostrarem de nou, la distribució normal, però aquest cop, de manera molt senzilla utilitzant la calculadora de probabilitats a la que podeu accedir amb el botó

En la següent imatge hi podeu observar la distribució normal en la calculadora de probabilitats.

I si amb la imatge no n'hi ha prou i voleu experimentar, en el següent applet hi trobareu només una icona que és la que activa aquesta calculadora.
Experimenteu-hi que ja veureu que és molt intuïtiu el treball que hi podeu fer. Ànims!

Aplicarem aquesta utilitat a resoldre el següent problema de la sèrie 3 de les PAU de 1997/3/B/1/Setembre

Per resoldre l'apartat a)

• Trieu al desplegable la Distribució Normal
• Introduïu els valors de la mitjana 7.2 i la desviació estàndard σ=1.7 (recordeu usar el punt decimal del teclat numèric)
• Trieu la cua esquerra
• Introduïu el valor crític del diàmetre 6
• Obtindreu el valor de la probabilitat: 0.2401 i d'aquí ja podeu deduir doncs és la proporció de tomàquets rebutjats.

Per resoldre l'apartat b)

• Trieu novament del desplegable la Distribució Normal
• Introduïu els valors de la mitjana 7.2 i la desviació estàndard 1.7
• Trieu la cua esquerra
• Introduïu el valor crític del percentatge 0.1
• Obtindreu el valor del diàmetre: 5.0214

Podeu explorar altres possibilitats amb altres situacions:
cua dreta, dues cues (Two Sided) o amb les altres distribucions que trobareu al menú desplegable.