Aspectes locals de l'estudi de les funcions
En aquesta pràctica començarem amb una reflexió sobre el càlcul de derivades que incorpora el GeoGebra i ho aprofitarem després per mostrar com es pot visualitzar la relació entre el valor de la primera derivada d'una funció en un punt i la monotonia de la funció i, més en concret, amb els extrems de la funció. També és possible representar la segona derivada i relacionar-la amb la concavitat i la convexitat, però centrarem l'atenció, només, en els punts d'inflexió.
Tot seguit mostrem algun comandament CAS relacionat amb derivades i per últim us farem un breu resum d'algunes de les opcions que ens presenta el botó
Inspecció de funcions .
Càlcul de derivades
En la pràctica anterior ja s'ha posat de manifest que, donada una funció y = f(x), podíem obtenir la seva funció derivada escrivint, simplement f'(x). Aleshores el GeoGebra defineix una nova funció g(x) que és justament f'(x).
També és possible calcular la derivada en el punt corresponent a x=a entrant f'(a).
Semblantment podem obtenir la segona derivada escrivint f ''(x)(amb dos apòstrofs, no amb les cometes) i els valors de la segona derivada amb f ''(a); podem treballar amb la tercera derivada escrivint f '''(x) (amb tres apòstrofs), etc.
Els recursos de càlcul del GeoGebra són molt eficients i correctes, però, tanmateix, l'escriptura formal de les derivades no sempre és la que nosaltres mostraríem "a mà", i això succeeix especialment quan en la definició de les funcions apareixen paràmetres donats per punts lliscants.
És interessant comentar el comandament Derivada[].
- Derivada[f] calcula la funció derivada de la funció f(x) i naturalment la dibuixa. Si ho feu així, a la finestra algebraica veureu f'(x) com a definició d'aquesta nova funció.
- Derivada[f, n] calcula la derivada n-sima de la funció f(x), i també en aquest cas a la finestra algebraica veureu f ''(x), o f '''(x), etc., com a identificació d'aquesta nova funció.
- Ara bé, el comandament Derivada[], a priori, no permet calcular els valors de la derivada o de les derivades successives en un punt.
- Si volem aconseguir aquest efecte, podem definir una nova funció.
Per exemple, donada la funció f(x) = 12x⁸ + 15x 7
podeu definir h5(x)=Derivada[f,5] i després calculant h5(3) estareu avaluant la 5a derivada de la funció f en el punt x=3.
És clar, doncs, que en l'elaboració de les pràctiques els autors hem optat per una de les dues maneres de treballar, però també és clar que convé conèixer-les les dues i decidir en cada cas quina es fa servir.
Màxims, mínims i punts d'inflexió
Presentem tot seguit una activitat amb funcions polinòmiques per fer visuals els màxims i els mínims (extrems relatius) de la funció i de la derivada, i els punts d'inflexió de la funció per relacionar-los amb els extrems de la derivada. 1)
Podeu definir una funció polinòmica de grau menor o igual que 4 amb cinc punts lliscants.
Serà f(x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + e i es visualitza la funció derivada i els màxims, mínims i punts d'inflexió. El resultat ha de ser semblant a:
Voleu descarregar-vos aquesta construcció?
Per fer la construcció, deixeu invisibles la graella i la finestra algebraica.
- Dibuixeu cinc punts lliscants, de la manera habitual. Si voleu, situeu-los a la segona finestra gràfica i feu que no agafin, inicialment, cap valor igual a 0. A fi i efecte que quan interessi els poguem donar fàcilment un valor igual a 0 (per exemple si en l'experimentació volem fer que els alumnes treballin amb funcions de quart grau, o de tercer,… ) feu que l'increment en cada un d'aquests punts lliscants sigui 1.
- Entreu l'expressió f(x)=a x^4+ b x^3 + c x^2 + d x+ e, que correspon a la funció que estudiarem.
- Moveu els punts lliscants i comproveu les diferents formes que agafa la funció. Feu que es mostri com es veu a la figura, amb un color similar.
- Entreu el comandament Extrems[f] i quedaran dibuixats els màxims i els mínims de la funció.2)
- Entreu el comandament f'(x) i veureu la gràfica de la funció derivada que, com ja s'ha comentat, s'anomenarà g(x). Doneu-li un color diferent del de la funció f(x).
- Entreu el comandament Arrel[g] i veureu com es dibuixen directament els punts de tall de la funció g(x) (que és f'(x)) amb l'eix d'abscisses.
- Si dibuixeu uns segments verticals que uneixin cada extrem de la funció f(x) amb les arrels de la funció f'(x) quedarà més visible la relació que hi ha entre ells.
També es podria representar la segona derivada entrant, simplement, f ''(x). El que passa és que el gràfic potser quedaria poc clar i gens il·lustratiu.
Per això, el que fareu serà relacionar els punts d'inflexió de la funció f(x) amb els extrems de la funció f'(x).
- Entreu el comandament PuntInflexió[f] i observeu que s'hi representen tots els punts d'inflexió de la funció f(x).
- Entreu el comandament Extrem[g] i veureu els extrems de la derivada.
- Dibuixeu, com abans, els segments verticals que permeten relacionar aquests punts (extrems de la derivada i punts d'inflexió de la funció).
Per entrar els rètols de la funció i la derivada:
- Trieu l'eina Insereix un text i feu clic allà on voleu que es vegi, seleccionant l'objecte desitjat.
- O bé arrossegueu la funció de la finestra algebraica a la finestra gràfica.
- Repetiu el procediment per a la derivada, entrant el text corresponent a f' 3)
Més endavant ampliarem el concepte d'inequació amb GeoGebra, però de moment, sembla oportú estudiar els intervals de creixement i decreixement. Simplement entreu el comandament f'(x)>0 per mostrar els intervals de creixement, i f'(x)<0 pels de decreixement. Canvieu l'aspecte i poseu caselles de control per mostrar-los o amagar-los.
Acabeu els detalls estètics tal com us interessi… i guardeu la feina!
Altres comandaments relacionats amb la derivació
Amb la incorporació del CAS, el GeoGebra ha vist incrementat el nombre de possibilitats pel que fa al càlcul simbòlic, tot seguit us presentem, de manera molt breu (no és ara el moment de mostrar el funcionament del CAS), alguns comandaments per mostrar-ne la potencialitat lligant amb les derivades.
Podeu escriure els comandaments directament a la línia d'entrada o bé accedir al menú Visualitza i seleccionar l'opció CAS.
- Observeu l'efecte del comandament Derivada[x³+3x y, x], el resultat serà 3x2+3y
- Proveu ara Derivada[x³+3x y, x, 2], us retornarà 6x
- Derivada[t^3], retornarà 3t2
- Derivada[y x^3, y], retornarà x3
- I per últim, si es volen fer Derivades depenent de paràmetres, podeu entrar un punt lliscant a i derivar la funció f(x)=sin(a x), amb el comandament Derivada[f].
Vegeu tot els exemples en la següent imatge:
L'inspecció de funcions i un suport per a l'estudi local de funcions
Tot seguit us presentem la inspecció de funcions.
Convé destacar que aquesta és una eina (un quadre de diàleg) només d'exploració. Volem indicar, doncs, que els objectes que es mostren en aquest quadre de diàleg no són pas nous objectes que puguem "manipular" amb el GeoGebra, només són elements que es visualitzen de manera temporal i no pas objectes dinàmics com estem acostumats. No s'incorpora cap d'aquests objectes a la llista que tenim a la finestra algebraica.
Si feu clic al botó Inspecció de funcions, haureu de seleccionar una funció.
- Entreu, per exemple, la funció g(x) = x⁴ + 2x³ - 2x² + 2
- Feu clic al botó de l'Inspecció de funcions i seleccioneu la funció g.
- Obtindreu una pantalla com la següent. Fixeu-vos en les dues pestanyes "Interval" i "Punts".
- En la pestanya Interval podeu observar els valors que pren la funció en diversos punts, i podeu variar els extrems de l'interval fent clic a la corresponent casella (recordeu prémer Intro).
- Podeu obtenir els valors Mínim, Màxim, les Arrels (si n'hi ha), la Integral, l'àrea, la Mitjana i la longitud de la corba, sempre en funció dels extrems de l'interval de treball.
- La segona pestanya, la de Punts, ens mostra 4 botons a la part inferior. Els hem numerat i us detallem les funcions de cadascun:
- el primer botó mostra una taula de punts amb un pas entre punts que també podeu modificar.
- Fixeu-vos en els altres tres botons i en els objectes (de color vermell) que es dibuixen: mostrar una línia de punts discontínua per ressaltar la posició, mostrar la recta tangent en un punt i per últim mostrar la circumferència osculatriu.
- Per acabar, cal comentar el símbol de + que ens permet afegir columnes amb els valors que pren la funció per a la derivada, la segona derivada, …
Podeu provar, però, d'escriure Extrems[ <Funció>, <valor inicial de x>, <valor final de x> ] per a funcions contínues…