Funcions trigonomètriques
Per acabar aquest mòdul us presentem dues activitats relacionades amb la funció sinus.
Aquesta primera construcció mostra de manera clara i didàctica la relació entre la definició de sinus d'un angle i la funció f(x)= sin(x). Podeu parar i tornar engegar l'animació amb el botó de la part inferior esquerra de la finestra. També podeu anar validant o no les diferents caselles de verificació i observar els efectes que s'hi han dut a terme.
Passem a la construcció. En aquest cas és convenient que només surtin les etiquetes dels punts. Trieu l'opció corresponent al menú Opcions.
El primer que haureu de fer és canviar l'escala de l'eix horitzontal. La funció sinus i altres funcions trigonomètriques s'apliquen a l'angle en radiants, i per això fem el canvi de graduació de l'eix x, que així permet visualitzar la gràfica natural del sinus.
- En una finestra nova de GeoGebra, feu clic amb el botó dret a la zona gràfica per accedir a les propietats (La zona gràfica).
- Amb les pestanyes Eixos i EixX activades, valideu l'opció Distància. Del desplegable de la seva dreta, trieu l'opció π/2.
Observeu la graduació que té ara l'eix horitzontal.
- Definiu a la línia d'entrada els punts A=(-1,0) i B=(0,0).
- Amb l'eina Circumferència donats el centre i un punt per on passa dibuixeu una circumferència de centre A i que passi per B.
- Dibuixeu el punt lliscant angular. Ha d'anar des de 0º fins a 360º, amb un increment d'un grau.
Tot i que el GeoGebra fa tots els càlculs interns en radians, en canvi per defecte defineix els punts lliscants angulars en graus. Com que per a qüestions introductòries tots estem acostumats a fer-ho així, deixem l'angle mòbil en graus, cosa que, de passada, fa que l'alumnat pugui veure la relació entre les unitats angulars.
- Trieu l'eina Rotació al voltant d'un punt i cliqueu sobre el punt B i després sobre l'A. A la finestra que surt, entreu l'angle α, triant-lo del desplegable de la dreta. Hi apareixerà un punt nou situat a sobre de la circumferència. Feu que el seu nom sigui B'.
Observeu que si desplaceu el punt lliscant, aquest punt es mou tot seguint la rotació indicada per α.
- Trieu l'eina Angle i cliqueu, de manera consecutiva, sobre els punts B, A i B'.
- Dibuixeu el segment B'A.
- Dibuixeu una recta perpendicular a l'eix horitzontal que passi per B'.
- Trobeu el punt d'intersecció entre aquesta perpendicular i l'eix horitzontal. Serà el punt C.
- Dibuixeu el segment B'C.
- Feu invisible la recta perpendicular.
- Definiu el punt P=(α, sin(α)).
- Dibuixeu el segment B'P.
- Dibuixeu la recta perpendicular a l'eix horitzontal que passi per P.
- Trobeu el punt d'intersecció entre aquesta perpendicular i l'eix horitzontal. Serà el punt D.
- Dibuixeu el segment PD.
- Feu invisible la recta perpendicular i el punt D.
Si desplaceu el punt lliscant, ja veieu l'efecte que fa. Anem a millorar ara la part estètica.
- Dibuixeu la recta perpendicular a l'eix horitzontal que passi per A.
- Trobeu els punts d'intersecció entre aquesta perpendicular i la circumferència. Seran els punts E i F.
- Dibuixeu el segment EF i feu invisible la recta perpendicular.
- Feu el necessari per obtenir un segment sobre l'eix horitzontal entre els dos punts d'intersecció de la circumferència i aquest eix.
- Doneu un color a aquest dos segments.
- Feu invisibles tots els punts tret dels punts A i P. D'aquest feu que no es vegi l'etiqueta.
Ara entrareu l'expressió de la funció sinus.
- Entreu l'expressió f(x) = sin(x).
Si ara activéssiu la traçada del punt P, en desplaçar el punt lliscant, es veuria com el traç que deixa el punt coincideix amb la gràfica de la funció. Tot i així, no farem servir aquesta opció, per controlar millor quan volem que la traçada sigui visible o no. Per això farem servir una llista.
- Entreu l'expressió Seqüència[(i,sin(i)),i,0,α,2°].
D'aquesta manera, es generarà una llista de punts que es visualitzaran a sobre de la gràfica de la funció. Desplaceu el punt lliscant i comproveu-ho.
Aprofiteu ara per fer els canvis estètics necessaris per tal que la vostra construcció s'assembli a la de la finestra incrustada. Tot seguit fareu que el punt lliscant tingui animació pròpia.
- Amb el botó dret, feu clic sobre del punt lliscant i accediu a Propietats.
- A la fitxa Bàsic, valideu l'opció Animació activada.
- A la fitxa Punt lliscant, trieu del desplegable Repeteix l'opció Creixent.
Observeu com es mou automàticament el punt lliscant i l'aparició del botó de control a la part inferior esquerra de la zona gràfica.
A continuació, introduireu les caselles de verificació.
- Creeu la primera casella de verificació. Anomeneu-la Punts sinus. Feu que controli la visibilitat de la llista de punts, el punt P i els dos segments que passen per P.
Si observeu la finestra algebraica, aquesta casella de verificació ha generat la variable l, que agafa el valor true o false segons que estigui validada o no.
- Creeu ara la casella de verificació anomenada Traç sinus. Escriviu-hi el nom i cliqueu Aplica directament sense escollir cap objecte. Observeu que el nom de la variable boleana generada amb aquesta casella és m.
Fixeu-vos que aquesta casella només ha de ser visible si l'anterior està validada i que ha de controlar la visibilitat de la llista de punts. Per aconseguir-ho, treballarem amb les variables boleanes l i m. Recordeu tot allò que es va explicar sobre les variables boleanes a pràctica 1 del mòdul 2 .
- Accediu al menú Edita | Propietats i seleccioneu el valor boleà m que correspon a la casella de verificació que heu anomenat Traç sinus.
- Cliqueu la pestanya Avançats i entreu a la casella Condició per mostrar l'objecte la lletra l. D'aquesta manera, la visibilitat de la casella de verificació Traç sinus dependrà de la casella de verificació punts sinus representada per la variable boleana l. No tanqueu encara aquesta finestra.
- Seleccioneu ara la llista dels punts. Entreu a la casella Condició per mostrar l'objecte l'expressió m ∧ l, amb l'ajuda del desplegable de la dreta. Premeu la tecla Intro.
Feu proves amb les dues caselles de verificació creades per comprovar que funcionen com les de la finestra incrustada.
- Creeu ara la casella de verificació anomenada Gràfica sinus. L'únic objecte que controla és la gràfica de la funció f(x).
Ja heu acabat la construcció. Deseu la feina!
Famílies de funcions amb paràmetres
Experimenteu en la pantalla activa següent, on se us proposa que investigueu amb cinc punts lliscants a, b, c, d i p per veure l'acció del GeoGebra pel que fa a la funció definida en un interval mitjançant f(x) = Funció[c*sin(a*x+b)+d,0,p].
Alguns suggeriments de treball:
- Expliqueu la influència dels paràmetres a, b, c, d donats pels punts lliscants corresponents en les transformacions de la gràfica de la funció.
- Seleccioneu l'interval adequat perquè es mostri un període de la funció. Expliqueu la influència del paràmetre a sobre el valor del període.
Voleu descarregar-vos aquesta construcció?
Per fer la construcció que acabem de mostrar, podeu procedir així:
- Com que es tracta d'estudiar una funció trigonomètrica, podeu començar fent que l'eix de les abscisses estigui graduat mostrant la π. Cliqueu amb el botó dret sobre la zona gràfica i trieu La zona gràfica. A la fitxa on es detallen les propietats de l'Eix x, obriu el desplegable de Distància i escolliu la π.
- Com que estudiarem una funció definida en un interval [0, p] podeu desplaçar a mà la zona gràfica fins que l'eix d'ordenades quedi ben a l'esquerra. Recordeu que ho podeu fer amb l'eina Desplaça la zona gràfica.
- Definiu els punts lliscants que veieu. Observeu per a cadascun els límits i els increments corresponents. Per al punt lliscant p podeu escriure el màxim com 4*pi.
Observeu que el nombre pi (π) el podeu escriure amb el mateix desplegable que hem comentat per als exponents, o bé amb el desplegable de les lletres gregues; a diferència de les altres lletres gregues, la π no serveix per definir variables en el GeoGebra. Una manera alternativa per escriure la π en el quadre de diàleg del punt lliscant podria ser escriure ALT + P a la línia de comandaments i copiar i enganxar amb les tecles usuals CTROl+C (copiar) i CTROL +V (enganxar).
- Tot seguit ja podeu entrar la funció
f(x) = Funció[c*sin(a*x+b)+d,0,p]. i la veureu representada.
- Canvieu-li l'aparença, si voleu, clicant amb el botó dret sobre la funció i accedint a Propietats.
- Per posar un rètol fix, tal com es mostra en la finestra activa anterior, trieu l'eina Insereix text, escriviu
Funció f(x) = c*sin(a*x+b)+d definida en l'interval [0, p]
i cliqueu el botó D'acord. - Ara bé, si voleu que en cada moment es vegi quina és efectivament la funció i quin és l'interval,de manera dinàmica haureu de treballar amb la icona *+insereix text** i com podeu veure en la imatge escollir els objectes oportuns del desplegable: