Al Fòrum/Wiki del GeoGebra, sobretot al GeoGebraTube http://www.geogebratube.org o en altres pàgines amb activitats del GeoGebra, podeu trobar exemples ben interessants per a l'estudi de funcions que us poden ajudar molt.

Ara bé, en aquesta pràctica es donen algunes idees per treballar les funcions polinòmiques (en concret, per fer visual la influència de la multiplicitat de les arrels) i per estudiar les funcions racionals amb la visualització de les asímptotes.

En l'activitat següent s'estudia una funció polinòmica amb una, dues o tres arrels, de les quals es pot fixar la multiplicitat. També es pot fer que el signe del terme de grau més gran sigui positiu o negatiu.

Aneu experimentant; varieu els valors i les multiplicitats i observeu què passa.

• Amb tres punts lliscants podeu donar els valors que vulgueu a les arrels, a, b, c. Està previst que només puguin prendre valors enters per centrar així l'atenció en les idees didàctiques més que no pas en "la calculística".
• Amb uns altres tres punts lliscants, m_a, m_b, m_c podeu establir les respectives multiplicitats (amb el benentès que si poseu multiplicitat 0 aquella arrel no apareixerà).
• Finalment teniu el punt lliscant s que permet establir signe 1 o -1 per al terme de grau més gran del polinomi.
• En moltes ocasions, per a la correcta visualització de la funció, convindrà canviar la graduació dels eixos. En l'exemple que teniu a continuació. s'ha posat Eix x:Eix y = 1:10. Més endavant mostrarem molts mètodes avançats per a fer Zoom.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Per elaborar aquesta activitat tal com s'ha presentat:

• Obriu un fitxer nou del GeoGebra.
• Com ho feu habitualment, definiu tres punts lliscants, que rebran els noms de a, b, c.
  Accediu a les Propietats i feu que l'increment sigui 1.
• Situeu-los, per exemple, en la segona finestra gràfica i allà on ho cregueu convenient i amb l'eina Inserir text podeu posar el rètol Arrels. Ja sabeu que podeu canviar-ne els aspectes de presentació amb les Propietats.
• Convé que escolliu l'opció Fixa objecte de manera que en fer-hi clic només es pugui canviar el seu valor i no la seva posició.
• Definiu tres nous punts lliscants. Accediu a les Propietats i feu que l'interval de variació de cadascun d'ells sigui de 0 a 6 i que l'increment sigui 1. Doneu-los els noms de m_a, m_b, m_c que ja veureu escrits en pantalla com m_a, m_b, m_c.
  
• Situeu-los on us sembli oportú i creeu el rètol Multiplicitats.
• Finalment, definiu encara un altre punt lliscant al qual donareu el nom de s. En aquest cas feu que l'interval de variació sigui de -1 a 1 i l'increment, 2. Així, s només podrà prendre els valors 1 i -1.
• Com que voldrem visualitzar l'expressió factoritzada de la funció, i preferim una expressió del tipus
  f(x)= -(x-2)³ enlloc de f(x)= (2-x)³ o f(x)= (-x+2)³,
  haurem de fer alguna petita modificació.
  
• Definiu, a la línia d'entrada de comandaments i funcions
  f₁(x) = (x-a)^m_a*(x-b)^m_b*(x-c)^m_c
  Fixeu-vos que de moment no hem tingut en compte el signe controla pel punt lliscant s.
  
• Tot seguit, amb la funció Si[] tindrem en compte aquest signe i a més la factoritzarem de manera que ens quedi "bonica".
• Utilitzarem el comandament Factoritza[].
• Definiu a la línia d'entrada de comandaments
  Si[s ≟ 1, Factoritza[f_1], -Factoritza[f_1]].
  És a dir que si el signe de s és 1, es factoritzarà f₁, i si en canvi, s val -1, a la factorització de f₁ se li canviarà el signe.
  
• Per tal de generar el text, només cal que arrossegueu la funció creada f de la finestra algebraica a la part de la zona gràfica on us convingui. També hem fixat la posició en pantalla per evitar que fent els zooms d'apropament i d'allunyament perdem la fórmula.
• Constateu que no hi apareixen expressions com ara (x-3)⁰, ni tampoc es mostren multiplicitats quan un factor és igual a 1, no apareix (x-3)¹ (creiem que en aquest cas l'exponent no hauria d'escriure's): També hem evitat el número 1 multiplicant amb el signe de la funció que tampoc no és gaire "elegant".
• Tot això és gràcies al fet que el GeoGebra té un calculador simbòlic associat. En parlarem al vuitè mòdul.

Tot seguit us presentem de manera breu, unes instruccions per aprofitar al màxim les possibilitat per desplaçar-nos per la Zona gràfica i fer Zoom.

Procediment	Acció
	Desplaça la zona gràfica
	Accés a les propietats de la zona gràfica
Tecla MAJ	Si premeu MAJ i desplaceu el fons de la construcció us podreu moure per la zona gràfica
Rodeta del ratolí	Fent girar la rodeta del ratolí es pot aconseguir de fer Zoom. Us aconsellem, però, feu la gireu la rodeta del ratolí a la vegada que premeu la tecla MAJ, amb aquest procediment funcionarà segur tant si utilitzeu el GeoGebra en local com si executeu un applet en una pàgina web
Arrossegar amb el botó dret	Amb el botó dret del ratolí arrossegueu el punter traçant un rectangle, aconseguireu fer un zoom proporcional dins d'aquest rectangle
Botó dret i tecla MAJ	Premeu a la vegada el botó dret del ratolí i la tecla MAJ arrossegueu el punter traçant un rectangle, veureu que aquest rectangle és lliure encara que no mantingui les escales dels eixos
MAJ i clicar l'eix	Per canviar l'escala dels eixos premeu la tecla MAJ mentre feu clic i arrossegueu l'eix. Veureu que el cursor canvia a dues fletxes horitzontals.
Tecla ALT	Amb la tecla ALT qualsevol dels processos explicats es veurà accelerat
	Amb el botó dret sobre la zona gràfica, podeu tornar a la Vista estàndard , també ho podeu fer amb la combinació de tecles Ctrol + M

Per dibuixar la gràfica d'una funció racional (com per dibuixar la gràfica de qualsevol altra funció), només cal definir-la a la línia d'entrada de comandaments. D'aquesta manera (combinant-ho de vegades necessàriament amb una correcta adequació de les graduacions dels eixos) ja tenim una idea molt clara de la gràfica de la corba.

Tanmateix no es visualitzen les asímptotes. Si voleu dibuixar-les heu de definir per separat el numerador i el denominador, com es fa en la finestra següent.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

A continuació s'explica com es pot elaborar aquesta activitat preparant-la per visualitzar fins a 4 asímptotes verticals.

• Definiu, per exemple, la funció que serà, provisionalment, el denominador: den(x)=x*(x-1)*(x+1)*(x-2). ¹⁾
• Podeu fer que no es mostri la gràfica de la funció.
• Calculeu-ne les arrels amb el comandament M = Arrel[den]. Veureu que els punts que representen les arrels han quedat designats com M₁, M₂, M₃, M₄. Tot seguit podeu seleccionar alhora, a la finestra algebraica, els quatre punts, amb el botó dret accedir a Propietats i fer que no es mostrin els punts.
• Entreu ara a la línia de comandaments, successivament x=x(M_1), x=x(M_2), x=x(M_3), x=x(M_4), i quedaran dibuixades quatre rectes verticals que rebran els noms de a, b, c, d. Seleccioneu ara a la finestra algebraica les quatre rectes indicades, de manera que també quedin seleccionades alhora, cliqueu amb el botó dret i accediu a Propietats i aleshores doneu-los color vermell i feu que l'estil de recta sigui de punts o segments.
• Ara ja podeu accedir a den(x) i redefinir la funció amb el denominador que us interessi.
• Definiu també la funció numerador, num(x), que us interessi. Feu que no es mostri la gràfica d'aquesta funció.
• Definiu, finalment, f(x)=num(x)/den(x)

Podeu veure que si aneu canviant a la finestra algebraica les funcions numerador i denominador, es mostra la funció racional amb les seves asímptotes, amb aquestes consideracions:

• Si la funció denominador té més de quatre arrels diferents, alguna de les possibles asímptotes no es mostrarà. En canvi, si té tres, dues, una, o cap possible asímptota sí que el funcionament serà correcte.
• Si la funció té alguna discontinuïtat evitable, diguem que "incorrectament", també es mostrarà la recta vertical com a possible asímptota.

En relació amb aquesta darrera observació, convé fer uns comentaris conceptuals:

• Molts calculadors simbòlics tenen "el bon costum", quan se'ls introdueix una funció racional, de començar-hi el treball simplificant-la al màxim. Quan s'ha fet això, ja no hi ha discontinuïtats evitables! És a dir, la millor manera d'evitar les discontinuïtats evitables és simplificar la funció.
• Si en el gràfic d'una línia contínua hi falta només un punt… això no es pot apreciar a simple vista, en un primer cop d'ull. Però el GeoGebra ens ajuda, si hi parem atenció, a explicar bé què és una discontinuïtat evitable, que és més que una discontinuïtat una "quasi-continuïtat".

Cliqueu aquí per veure'n un exemple