En aquesta pràctica es presenten els recursos fonamentals que ens ofereix el GeoGebra per treballar amb les còniques del pla. Com sempre, el programa ofereix un doble punt de vista, analític i geomètric, que posarem de manifest en la primera part de la pràctica, eminentment descriptiva.

A part de saber com definir-les i dibuixar-les, és interessant, com indica el títol d'aquest mòdul, "fer geometria" amb les còniques, i això també ho farem.

• En aquesta pràctica ensenyarem per què les antenes de televisió es diuen antenes parabòliques.
• En la pràctica següent farem algun problema sobre tangències.
• En la pràctica 6 revisarem la definició de les còniques com a llocs geomètrics.

Tal com ja hem vist per a les rectes i les circumferències, podem obtenir amb el GeoGebra les còniques del pla escrivint-ne l'equació, mitjançant comandaments adequats o amb l'ús d'eines incorporades a les que ens proporciona el programa.

Habitualment, a l'Educació Secundària es parla ben poc de les equacions generals de les còniques, és a dir, del fet que una equació completa de segon grau amb dues variables representa una cònica. Això fa que, llevat del cas d'algun treball de recerca, no es tracti la classificació de còniques (és a dir, a partir de l'equació saber reconèixer de quina cònica es tracta). Tanmateix, els recursos del GeoGebra, que sens dubte ens ajudaran molt en la presentació de les còniques, faran inevitable esmentar aquest tema.

• Si escriviu a la línia d'entrada una equació de la forma a x² + b y² + c x y + d x + e y + f = 0. ¹⁾ es dibuixa en la zona gràfica la corba representativa de la cònica.
  • Si acosteu el ratolí a la corba o a la seva equació que es mostra a la finestra algebraica, el programa us indicarà de quin tipus de cònica es tracta
  • Alerta! pot passar que sigui una cònica buida, com és ara: x² + 4 y² + 4 x y + x + 2 y + 5 = 0 (i així us ho dirà si aneu a la seva fórmula a la finestra algebraica), però també pot succeir que la cònica quedi fora de la pantalla, com passa si teniu els eixos tal com ens els posa el programa per defecte i esborreu el terme en y de l'equació anterior: x² + 4 y² + 4 x y + x + 5 = 0 és una paràbola que queda "amagada a l'esquerra de la pantalla".

Aquesta idea d'escriure les còniques de manera general té el seu paral·lel gràfic en la possibilitat de dibuixar la cònica determinada per cinc punts. ²⁾

• En el grup d'icones de còniques teniu la que correspon a l'eina Cònica que passa per cinc punts , que sens dubte pot tenir un lloc destacat en el context del GeoGebra perquè els autors la van triar com a logotip internacional del programa ³⁾.
• En la següent imatge animada de l'esquerra, podeu veure com el punt de color vermell va canviat la seva ordenada. Veureu com canvi la cònica associada a aquest punt de color vermell i als altres quatre punts de color blau. També podeu experimentar amb l'applet de la dreta amb el botó de reprodueix o bé movent els punts.
• Alternativament, també podeu dibuixar cinc punts, experimenteu i, com abans, aneu comprovant de quina cònica es tracta en cada cas. En parlarem en l'apartat següent d'aquesta pràctica.
  

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

• Si us agrada treballar amb comandaments, l'acció anterior es correspon amb Cònica[A, B, C, D, E], on A, B, C, D i E són punts.

A la Secundària sovint s'adopta un enfocament més descriptiu de cada cònica en particular, i això també es pot fer amb el GeoGebra. Tenim eines associades a icones i comandaments per estudiar concretament les el·lipses, hipèrboles i paràboles.

• Al grup d'eines de còniques (com es mostrava en una de les imatges anteriors) teniu les que construeixen:
  • Una el·lipse donats els dos focus i un punt de la corba. Convé saber que el comandament El·lipse[F,F',P] fa aquesta mateixa acció.
  • Una hipèrbola donats els dos focus i un punt de la corba. També tenim el comandament associat Hipèrbola[F,F',P].
  • Una paràbola donats el focus i la recta directriu. En aquest cas, el comandament corresponent és Paràbola[F, r], on F és el focus i r la recta directriu, que es pot indicar com ens vagi millor; eventualment, també es pot posar un segment que la defineixi.
• A més, com ja sabeu, podeu accedir a la llista de comandaments específics per al treball amb còniques. A la següent imatge teniu els detalls que us guiaran per tal de trobar-los agrupats, així com la sintaxi específica.

Segur que si aneu practicant descobrireu moltes possibilitats didàctiques d'aquests recursos. Heu de saber que el GeoGebra sempre presenta, per defecte, l'equació de la cònica en la seva forma general (encara que nosaltres l'hàgim entrat en la forma reduïda) però que, en cas que els eixos principals de la cònica siguin paral·lels als eixos de coordenades, en podem obtenir l'equació reduïda. Ho expliquem, concretant en l'el·lipse, mitjançant la imatge següent.




Practiqueu!

Encara disposem d'unes altres versions dels comandaments per a l'el·lipse i la hipèrbola.

• Si entrem El·lipse[F,F',a] o Hipèrbola[F,F',a], on F i F' són dos punts, i a és un nombre real positiu, obtindrem de l'el·lipse o la hipèrbola els focus en els punts F i F' i semieix major o principal a.
  • És sabut que en el cas de l'el·lipse hauria de ser 2a > Distància[F,F'], i en el cas de la hipèrbola 2a < Distància[F,F'], però si no es compleixen aquestes condicions, en cada cas és dibuixa la cònica amb centre que correspon independentment del "nom" que li hàgim donat nosaltres.
• En els dos casos es pot substituir a per un segment definit prèviament, del qual el programa només considerarà la distància, no la direcció.

Tot seguit dibuixareu una cònica que passi per cinc punts i veureu que el GeoGebra permet descriure'n les característiques: obtenir i dibuixar els seus elements fonamentals (el centre, els eixos, els focus…).

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Per fer la construcció:

• Activeu l'eina Cònica que passa per cinc punts.
• Cliqueu sobre 5 punts diferents del tauler gràfic i comproveu que automàticament es dibuixa una cònica que rep el nom c.
• Ja sabeu que podeu observar-ne l'equació i també, amb el botó dret, veure un pop-up que ens diu el tipus de cònica.
• Podeu moure els punts i comprovar com varia la cònica. Podeu aconseguir que esdevingui una el·lipse? És clar que sí! I una hipèrbola? També, segur!
• Ja costaria més obtenir una circumferència o una paràbola… A veure si ho aconseguiu!

Tot seguit obtindreu alguns elements de la cònica dibuixada, amb el benentès que exactament el mateix procediment que s'explica a continuació s'aplicaria si, en comptes d'haver entrat una cònica que passa per cinc punts, n'haguéssim escrit directament l'equació a la línia d'entrada.

• Escriviu a la línia d'entrada P=Centre[c] i premeu Retorn. Us dibuixarà el centre de la cònica (i tal com s'ha fet, l'anomenarà P). ⁴⁾
• Si hi escriviu m=PrimerEix[c] i premeu Retorn, us dibuixarà l'eix principal de la cònica (observeu que és una recta, no un segment).
• Si hi escriviu n=SegonEix[c] i premeu Retorn, us dibuixarà l'eix secundari de la cònica (una altra recta que anomenarà n).⁵⁾
• La comanda Eixos[c] hauria dibuixat simultàniament els dos eixos de la cònica, però els tindríeu definits a la finestra algebraica com dos objectes diferents.
• Si hi escriviu a=LongitudPrimerSemiEix[c] i premeu Retorn, no es dibuixa res, però a la finestra algebraica apareix la longitud del semieix principal de la cònica. Semblantment amb b=LongitudSegonSemiEix[c]. ⁶⁾
• Si hi escriviu Focus[c] i premeu Retorn, es dibuixen els focus de la cònica, dos en el cas de l'el·lipse o la hipèrbola, un per a la paràbola.

L'aspecte final de tot el que hem fet és el de la finestra GeoGebra incrustada a l'inici de la pràctica. Podeu moure algun dels punts definidors de la cònica A, B, C, D i E i veure com canvia tot plegat.

També disposeu del comandament Excentricitat[ <Cònica> ], proveu d'escriure Excentricitat[c] i veureu que el valor obtingut coincideix, efectivament, amb el que habitualment es coneix com a excentricitat d'una cònica.⁷⁾

L'activitat amb què acabem aquesta pràctica ens farà visualitzar la propietat de les paràboles que és la base de les antenes parabòliques (l'anomenarem propietat de reflexió passant pel focus): per a qualsevol ona emesa molt lluny de la qual els raigs incidents siguin paral·lels a l'eix de la paràbola i que es reflecteix en la paràbola, el raig reflectit passa pel focus.
Observeu-ho en la finestra incrustada següent.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Donades les característiques de la pràctica aconsellem treballar sense graella i sense eixos; penseu com voleu que el programa tracti les etiquetes. No farem servir elements de la finestra algebraica; si us sembla, la podeu tenir amagada.

En primer lloc, dibuixareu la paràbola. Ja heu vist, segurament, que aconseguir que una Cònica que passa per cinc punts sigui una paràbola és molt difícil, però si ho aconseguim i movem una mica un dels punts, deixarà de ser una paràbola. Com que ara volem interactivitat, farem sevir el recurs de dibuixar la paràbola a partir de la directriu i el focus.

• Dibuixeu la recta, que serà la directriu de la paràbola, utilitzant l'eina Recta que passa per dos punts. Observeu que, per defecte, el GeoGebra ha anomenat a a aquesta recta. Podeu canviar el seu estil fent-la a traços.
• Dibuixeu un tercer punt utilitzant l'eina Punt nou. Aquest punt serà el focus de la paràbola; és aconsellable canviar el seu nom per F.
• Activeu l'eina Paràbola del grup d'eines de còniques i tot seguit seleccioneu primer el punt i després la recta a ⁸⁾ i així tindreu dibuixada la paràbola c. Podeu canviar-li el color, fer-la més gruixuda…

Tot seguit dibuixareu un raig lluminós incident, és a dir, una recta paral·lela a l'eix de la paràbola:

• Dibuixeu l'eix de la paràbola utilitzant l'eina Recta perpendicular (perpendicular a la directriu que passa pel focus). Canvieu l'estil de l'eix, que segurament té el nom de b, fent-lo a traços. Alternativament podeu fer servir el comandament b=PrimerEix[c].
• Dibuixeu un punt C sobre la paràbola utilitzant l'eina Punt nou i fent clic exactament sobre la paràbola o bé amb l'eina Punt en un objecte.
• Dibuixeu una recta paral·lela a l'eix de la paràbola que passi pel punt C utilitzant l'eina Recta paral·lela. Cliqueu sobre l'eix b i sobre el punt C. Anomeneu la recta amb la lletra i d'incident.

Finalment, dibuixareu la reflexió de la recta obtinguda anteriorment sobre la paràbola (de fet, obtindreu la reflexió respecte de la recta tangent a la paràbola en el punt d'incidència C):

• Dibuixeu la recta tangent a la paràbola pel punt C utilitzant l'eina Tangents que teniu al grup d'icones de rectes.⁹⁾ Cliqueu sobre el punt C i després sobre la paràbola c. Canvieu l'estil i el nom d'aquesta recta tangent, anomeneu-la t i feu-la a traços més curts.
• Dibuixeu la recta simètrica de la recta i, el raig incident, respecte de la recta tangent t utilitzant l'eina Simetria axial. Cliqueu sobre i i sobre t, en aquest ordre. Obtindreu la recta i'.

Ja teniu la construcció feta, i segur que serveix per il·lustrar el funcionament de les antenes parabòliques.
Algunes observacions:

• Sembla que la recta i' passa pel focus F, i, si moveu el punt C sobre la paràbola, sembla que hi continua passant, però… segur que hi passa? Ho podeu comprovar utilitzant l'eina Relació entre dos objectes; si cliqueu sobre la recta i' i sobre el punt F, obteniu la resposta "Recta i' passa per Punt F (Comprovat numèricament)". I la resposta és sempre la mateixa encara que mogueu interactivament els elements que ens han servit per a la pràctica.
• Es pot completar la construcció mostrant que els angles que formen els raigs incident i i reflectit i' amb la recta tangent a la paràbola en C són iguals.
• I un altre aspecte per al perfeccionament: es pot mostrar que la recta normal a la paràbola en C és la bisectriu de l'angle que formen i i i'.