En aquest mòdul passareu l'equador del curs. Intentarem que feu vostra la idea que el GeoGebra pot ajudar-vos a conjecturar la solució de problemes i obrir el camí cap a una demostració acurada. Potser pensareu que hi ha exemples "sobreabundants"; podeu mirar-los ràpidament en una primera passada pel tema i concentrar-vos en el que més us interessi.

La pràctica comença amb la presentació dels nombres aleatoris i s'apliquen a una activitat didàctica de geometria. Després podreu estudiar dos problemes que es resolen amb l'aplicació de simetries: el joc del billar i l'enrajolat del pla fent un mosaic amb un quadrilàter qualsevol.

Ja heu constatat moltes possibilitats per treballar amb el GeoGebra en el camp de la geometria amb activitats didàctiques interactives. Com un valor afegit a aquestes activitats es suggereix sovint que estaria bé que l'alumnat tingui, cadascú, la seva "pròpia" activitat. Tot seguit presentem els nombres aleatoris, que ens donen aquesta possibilitat: generar activitats "personalitzades".

El GeoGebra incorpora la funció random(), que retorna un nombre aleatori entre 0 i 1, equivalent al procediment incorporat a les calculadores de butxaca. És una funció i no un comandament, i per això els ( ) en comptes dels [ ]. Però és una funció sense cap argument; per això els () sense res a dintre.

• Escriviu a la línia d'entrada a=random().
  Després, per exemple, b=3*a i C=(3*random(), 2*random()).
  • Observareu que el valor del nombre aleatori a es manté en el càlcul de b; aquest fet que els valors dels nombres aleatoris es mantinguin una vegada s'han definit és molt interessant per al disseny d'activitats didàctiques.
  • En canvi, quan apareix una altra crida a random(), com es fa en el punt C, es generen dos nombres aleatoris nous.
• Ara premeu Ctrl+R o bé F9 successives vegades. Anireu veient nous valors de les variables definides aleatòriament i d'un punt aleatori en un rectangle de 3 × 2.
• Poseu Opcions | Arrodoniment | 15 xifres decimals i veureu que els nombres aleatoris del random() es generen amb "tots" els decimals amb què treballa el GeoGebra.

Actualment el GeoGebra incorpora comandaments propis que faciliten la possibilitat de treballar amb nombres aleatoris.

• El que farem servir més en aquesta pràctica, i en altres de mòduls posteriors, és AleatoriEntre[a, b], on a i b són nombres enters.¹⁾, a < b. Aquest comandament: retorna un nombre enter aleatori entre a i b, ambdós inclosos, amb la mateixa probabilitat per a tots aquests nombres.
• En el mòdul 7 també treballareu amb AleatoriBinomial[n, p] (nombre de proves, probabilitat d'èxit) i AleatoriNormal[µ,σ] (mitjana, desviació estàndard) que, com és de suposar, generen nombres aleatoris que responen al model de la distribució indicada.

A partir de la idea de la generació d'un punt aleatori amb coordenades enteres, teniu tot seguit una primera activitat que cada vegada que s'engega ho fa amb punts diferents.

• Per a les finestres inscrustades en una pàgina web es pot incloure la icona , que apareix a dalt a la dreta de la pantalla. Aquesta icona reinicia l'activitat tal com està guardada i, així doncs, genera nous nombres aleatoris
• Com ja s'ha dit, també teniu l'alternativa de Ctrl+R o amb F9 per fer una altra prova.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

S'explica exactament tal com està feta l'activitat que heu vist; tanmateix, és clar que per a la generació d'activitats aleatòries cadascú pot fer variacions que li sembli que la milloraran.

• A= (AleatoriEntre[1, 5], 1)
• Volem que el punt B quedi a la dreta de A, a la mateixa altura: B=(AleatoriEntre[x(A) + 1, 10], 1).
• Fem que C quedi més amunt que els dos punts que constituiran la base del triangle: C=(AleatoriEntre[2, 9], AleatoriEntre[2, 7]).
• Dibuixeu el triangle ABC i doneu-li de nom T. Aquesta mateixa variable T és un valor numèric que ens dóna el valor de l'àrea del triangle T.

Feu algunes proves per veure que es van generant diferents triangles, per tal de fer una estimació de l'àrea i respondre si s'ha fet bé o no.

• Definiu un punt lliscant i poseu-li de nom àrea i feu-lo variar de 0.5 a 30.5 amb increment de 0.5.
• Per tal que els textos de comprovació només es vegin en funció d'una casella de per mostrar o ocultar-los, podeu procedir així:
  • Definiu la casella de control amb la llegenda Comprovació que segurament, com a booleà, agafarà el nom de d i, de moment, feu aplica sense posar-hi cap objecte.
  • Definiu un text "Molt bé! L'àrea és exactament la que heu indicat" i, a part de qüestions estètiques, a la finestra de Propietats aneu a Avançat i a la casella Condició per mostrar un objecte escriviu
    d ∧ T==àrea, on el doble signe d'igual representa l'igual condicionat. O bé utilitzeu l'assistent de textos com en la imatge
    
    
    
  • Feu semblantment amb les altres possibles respostes:
    • text "L'àrea correcta és més petita que l'àrea indicada" amb la condició per mostrar el text
      d ∧ T<àrea.
    • text "L'àrea correcta és més gran que l'àrea indicada", que només s'ha de mostrar si
      d ∧ T>àrea.

Vegeu si tot funciona i guardeu la feina.

Tot seguit veurem una altra activitat a partir d'un triangle generat aleatòriament. Recordem que les propostes d'activitats que segueixen, i que estan marcades amb un asterisc (*) es consideren d'ampliació.

Practiqueu una estona en la finestra activa següent que, com ja hem dit, reprèn la idea de treballar amb un triangle generat aleatòriament. En aquesta activitat també aprofundireu en el tractament dinàmic del color dels objectes i, tal vegada, aquest aspecte pugui considerar-se d'ampliació en un primer estadi de l'estudi del GeoGebra.

Alguns comentaris:

• Tot i que a la pantalla diu Crt+R per fer un altre cas, ja sabeu que també es pot fer amb F9 o amb la icona d'actualització.
• No hi ha cap comprovació que els tres punts generats aleatòriament (triangle vermell) no estiguin alineats; com que la probabilitat que això passi és molt petita… doncs si us passa, feu un altre cas!
• Tampoc no hi ha cap comprovació que els punts que inicialment defineixen el triangle verd no siguin ja, parcialment o total, els que busquem.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Abans de passar a detallar el procediment adequat per a elaborar aquesta activitat, comentarem que:

• El polígon inicial, generat aleatòriament, és un objecte amagat.
• El triangle que es veu de color vermell és el seu simètric.
• El triangle de color verd està definit amb tres punts concrets al principi, però després, en proves successives, roman tal com ha quedat de l'experimentació anterior.

També interessa fer constar que:

• No s'ha cregut recomanable fer l'activitat amb una recta generada aleatòriament, perquè aleshores hi ha moltes vegades que es fa molt difícil reconèixer exactament els punts simètrics que busquem.
• S'ha fet amb una simetria respecte a la recta y = x i, d'aquesta manera, s'assegura que els punts que busquem són de coordenades enteres, és a dir que queden a la graella.
• Tal vegada és interessant que abans de l'activitat amb la bisectriu del primer quadrant com a eix de simetria, es faci una activitat anàloga amb una recta "vertical" (del tipus x=a) o "horitzontal" (del tipus y=b). No tindreu cap dificultat en fer els canvis necessaris en les instruccions que tot seguit detallem per aconseguir aquest objectiu.

• Engegueu el GeoGebra. S'aconsella treballar amb Opcions | Etiquetes | No etiquetis objectes nous. Podeu treballar sense els eixos.
• És imprescindible treballar amb la graella i amb Opcions | Enganxar els punts a la graella | Actiu(graella).²⁾

• Definiu primer de tot la recta que serà l'eix de simetria. Ho podeu fer a la línia d'entrada: y = x. La recta serà batejada com a.

• En l'activitat. tal com l'heu vist, els punts que generen el triangle aleatori estan definits així:
  A = (AleatoriEntre[-3, -2], AleatoriEntre[4, 5])
  B = AleatoriEntre[-4, -1], AleatoriEntre[1, 3])
  C = (AleatoriEntre[-1, 1], AleatoriEntre[3, 5])
  D'aquesta manera el triangle queda "a dalt a l'esquerra" de l'eix de simetria i ben visible, i és molt petita la probabilitat de trobar tres punts que no formin triangle, però pot passar!
• Construïu el triangle T de vèrtexs ABC. Ja sabeu que podeu fer-ho amb la icona corresponent de Polígon i després donar-li nom al triangle, o bé amb el comandament T = Polígon[A,B,C].
• Amb l'eina Simetria axial feu el simètric d'aquest triangle respecte a la recta a com a eix de simetria. S'haurà creat el triangle T' = A'B'C'. Acoloriu de color vermell aquest triangle i els vèrtexs que el defineixen.
• Ara amagueu el triangle T i els seus vèrtexs A, B, C, és a dir el triangle aleatori original, i comproveu que el triangle T' = A'B'C' no el podeu pas moure; és fix en pantalla.

• Dibuixeu, al semiplà on estava el triangle original, un triangle R = DEF. Poseu-lo allà on vulgueu, però que, inicialment, en el primer intent de l'activitat, es vegi el triangle verd.

Ara, a part del rètol explicatiu de què cal fer, ens falta acolorir el triangle DEF que acabem de construir, que serà el que l'usuari mourà, de manera que primer de tot es vegi de color verd, però que se'n vagin acolorint els vèrtexs de vermell quan estiguin en posició correcta. També tots els elements del triangle convé que es vegin vermells quan l'encert sigui total. Així ho heu vist en l'activitat amb la qual heu experimentat i ho hem fet aprofitant els colors dinàmics.

• Per més claredat podem definir un booleà v1 que ens dirà si el vèrtex D és un dels vèrtexs del triangle original, A, B o C (haurem de fer servir la ∨ lògica) i, semblantment, uns altres booleans v2 i v3 que ens respondran una qüestió anàloga per al vèrtex E i per al vèrtex F.
  • v1 = (D ≟ A ∨ D ≟ B ∨ D ≟ C)
  • v2 = (E ≟ A ∨ E ≟ B ∨ E ≟ C)
  • v3 = (F ≟ A ∨ F ≟ B ∨ F ≟ C)
• Tanmateix, la formulació anterior que a primera vista funciona perfectament no controla que l'usuari no posi en un mateix punt els tres vèrtexs del triangle verd, cosa que també convé vigilar… sobretot si es vol passar l'activitat a l'alumnat!
  Per això afegirem a les condicions anteriors, amb la ∧ lògica, aquesta condició que els vèrtexs del triangle DEF no es superposin:
  • v1 = (D ≟ A ∨ D ≟ B ∨ D ≟ C) ∧ D≠E ∧ D≠F
  • v2 = (E ≟ A ∨ E ≟ B ∨ E ≟ C) ∧ E≠D ∧ E≠F
  • v3 = (F ≟ A ∨ F ≟ B ∨ F ≟ C) ∧ F≠D ∧ F≠E
• Una vegada definits aquests tres booleans també ens aniran bé per establir la condició que ens dirà si l'encert és total: respo = v1 ∧ v2 ∧ v3.³⁾
• Pel que fa als colors dels vèrtexs D, E i F i el triangle R = DEF accedirem a Propietats, pestanya Avançat i per posar que el color sigui verd en principi i roig en cas d'encert, tindrem en compte que els colors dinàmics també poden estar definits en funció d'un booleà.⁴⁾
  • Vèrtex D, així: Vermell v1, Verd ¬v1.⁵⁾, Blau 0
  • Vèrtex E, així: Vermell v2, Verd ¬v2, Blau 0
  • Vèrtex F, així: Vermell v3, Verd ¬v3, Blau 0
  • Triangle R = DEF, així: Vermell respo, Verd ¬respo, Blau 0

Ja només falta definir el text amb les instruccions inicial (que mostrareu condicionat a ¬respo) i el text de felicitació per l'encert i pas a un altre cas (que haurà de tenir com a condició per mostrar-lo, respo).

En aquesta activitat tornarem a fer ús dels nombres aleatoris per situar dues boles en una taula de billar i reflexionarem sobre el fet que el coneixement de les simetries és un bon auxiliar per començar a intentar fer una carambola.

Imaginarem que juguem a billar en una taula "perfecta" i que tirem sense efecte. Aleshores la bola rebota a la banda de manera que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió. Vegeu en la imatge següent aquesta idea definidora i penseu que si fem una simetria adequada del punt on tenim la bola podrem dibuixar-ne la trajectòria quan coneixem el punt on ha rebotat.

Us proposarem jugar a billar. Tirareu amb una bola vermella, i caldrà dirigir-la convenientment perquè després de rebotar a la banda de dalt toqui una bola blanca situada a la taula.

Per intuir quin ha de ser aquest punt de rebot perquè la nostra bola, en la seva trajectòria després de rebotar a la banda, toqui la blanca, una altra simetria ens ajudarà!

En l'activitat següent no us demanem que feu la construcció de la trajectòria adequada, sinó que sapigueu intuir "a ull" quin ha de ser el punt de rebot, que és el que podreu moure per fixar la trajectòria. Quan hagueu decidit cap a quin punt de la banda voleu apuntar, podreu comprovar si hauríeu fet carambola.

Practiqueu!! Com que la bola vermella i la bola blanca es situen aleatòriament a la taula, ja sabeu com podeu fer un nou intent: Ctrl+R o F9 o la icona

Aquesta activitat no està prevista que es pugui descarregar

Explicarem els aspectes fonamentals de l'activitat tal com s'ha presentat. No es comentarà cap aspecte estètic de colors, textos, etc., que cadascú decidirà com més li agradi.

• S'han amagat els eixos i s'han posat les distàncies de la graella a 0.5 per a la x i per a la y. És millor treballar sense etiquetes.

• El rectangle ABCD, que representa la taula de billar, té per vèrtexs (0,0), (7,0), (7,4) i (0,4).

• La bola vermella (amb la qual imaginarem que tirem) l'hem situada al punt BV = (AleatoriEntre[1, 13] / 2, AleatoriEntre[1, 7] / 2). Adoneu-vos que així, com a ajut per la tasca d'apuntar adequadament, queda situada en un dels punts del reticle de la graella, sense tocar a cap banda.
• La bola blanca se situa en un punt definit amb la mateixa formulació: BB = (AleatoriEntre[1, 13] / 2, AleatoriEntre[1, 7] / 2).

• El punt on volem apuntar el situarem com un punt del segment CD del quadrilàter que defineix la taula. Si ho heu fet com hem indicat segurament aquest segment tindrà de nom c i el fet de situar el punt P sobre aquest segment, en comptes de fer-ho amb la icona de Punt nou també ho podeu fer, si us agrada escriure, amb el comandament P = punt[c]. La millor opció, però és escollir la icona Punt en un objecte. En l'activitat, tal com l'hem presentada, hem fet una decoració amb petita fletxa feta amb tres segments; si us interessa fer això o un altre detall per destacar el punt cap on apuntem la bola vermella, endavant!
• El segment que indica com començarà la trajectòria si apuntem cap a P serà la tercera part del segment que uneix el BV amb el punt P, i aconsellem definir-lo amb un comandament per evitar multiplicar els punts auxiliars. Serà així: tr0 = segment[ BV, BV+(P-BV)/3]. Convé donar-li de seguida les característiques gràfiques que interessin.

Ara ja podem anar per dissenyar la trajectòria de la bola.

• La primera part de la trajectòria serà el segment tr1=segment[BV, P]. Convé dibuixar a partir d'ara en la capa 1.
• Per fer la segona part de la trajectòria, com s'ha explicat abans, s'haurà de fer una simetria.
  • L'eix de simetria serà la recta x = x(P) . Definiu-la i amagueu-la.
  • Fem la simetria del punt BV respecte a aquesta recta i obtenim el punt BV'
  • La segona part de la trajectòria estarà en la semirecta d'origen P i que passa per BV'.

• Fins on s'hauria de dibuixar aquesta segona part de la trajectòria és un punt a decidir, i que es podria decidir de moltes maneres, moltes de les quals potser penseu que milloren el que us hem proposat. D'això es tracta. Ho podeu millorar si voleu!
  • En la pràctica que us hem presentat es dibuixa un segment per a la segona part de la trajectòria de la mateixa longitud que el segment P BB. Si anem per bon camí de tocar la bola blanca, segur que n'hi haurà prou.
    • Calculeu doncs la distància m = Distància[P, BB], que ja sabeu que també podeu fer amb la icona de Distància.
    • Feu una circumferència de centre P i radi m.
    • Feu la intersecció d'aquesta circumferència amb la semirecta que heu definit abans. Dieu-li punt BF i acoloriu-lo vermell; aquesta serà la posició que mostrarem com a bola final en la nostra tirada.
    • Convé amagar el punt BV', la semirecta i la circumferència que han servit per trobar el punt BF.
• Dibuixarem com a segona part de la trajectòria el segment tr2 = segment[P, BF].

Acabarem aquest disseny de la trajectòria de la bola amb una casella de verificació que mostri les dues parts de la trajectòria i la posició final que hem establert per a la bola. Es crearà un booleà; ara li direm j.

Un darrer aspecte que queda per acabar l'activitat tal com l'hem mostrat també podria portar debat. Quan hem de dir que s'ha encertat?

• Es podria pensar que s'ha de dir només quan la bola vermella toca de ple la bola blanca, i ben centrada. Però això hi ha vegades que per la posició de les dues boles i el moviment del punt P no s'acaba d'assolir mai.
• Per altra banda al billar no cal tocar de ple, també val tocar d'esquitllada. Per això s'ha decidit que si visualment es veu que hi ha contacte entre la bola vermella en la posició final, BF, i la bola blanca, BB, ja aparegui un missatge de felicitació.
• Finalment, aquest missatge d'encert només s'ha de veure quan es faci la comprovació de la correcció de la trajectòria.
  • Això ha semblat que es complia si es posava com a condició per mostrar el text d'encert: j ∧ Distància[BF, BB] < 0.16, on s'ha tingut en compte el booleà j que correspon a la casella de verificació definida i un grau d'aproximació entre la bola en la posició final, BF, i la bola blanca BB.

• Obriu un nou fitxer, sense els eixos ni la graella. Poseu com a opció d'etiquetes Etiqueta només els punts nous
• Dibuixeu un quadrilàter qualsevol, de vèrtexs ABCD.
• Feu el punt mitjà de AD i dieu-li E.
• Activeu la icona Simetria central i dibuixeu el simètric del quadrilàter respecte al punt E, que tindrà adjudicats els noms dels vèrtexs A'B'C'D'.
• Ara feu el punt mitjà de D'C' (penseu que D' és el mateix punt que A) i dieu-li F.
• Feu la simetria central del quadrilàter A'B'C'D' respecte a F.
• Sigui G el punt mitjà de C"B" (C" també és A).
• Feu la simetria central del quadrilàter A"B"C"D" respecte a G.

Què hi observeu?

Ara practicareu amb una macro aquest fet que heu observat.

En la finestra incrustada següent:

• dibuixeu un quadrilàter qualsevol,
• adoneu-vos que hi ha una macro (eina d'usuari MosaicQuadrilàter) i activeu-la,
• cliqueu sobre el quadrilàter dibuixat, tal com indica l'ajuda de la macro,
• aneu clicant sobre nous quadrilàters que vagin apareixent i observeu.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Oi que s'ha anat enrajolant el pla amb peces iguals al quadrilàter que havíeu dibuixat?

• Fixeu-vos que s'ha fet només amb el recurs de la simetria central, és a dir, una rotació. Per tant no cal "tombar les peces", no cal fer servir dues cares del quadrilàter; totes les peces iguals es poden anar posant directament una al costat de l'altra.

• Podeu canviar interactivament els vèrtexs del quadrilàter inicial i veureu que tot s'actualitza!

Elaboració de la macro

Per dissenyar la macro s'ha fet una construcció exactament com indicàvem al començament d'aquest apartat; tanmateix, per fer la macro convé que no es vegi cap etiqueta a la figura: Opcions | No etiquetis objectes nous.

• Dibuixeu un quadrilàter ABCD que es dirà Polígon1; no cal que li canvieu el nom.
• Feu-li una simetria central respecte al punt mitjà d'un costat; el mateix amb el quadrilàter resultant de la primera simetria; el mateix amb el quadrilàter resultant de la segona simetria.

Ara ja estem a punt de crear la macro.

• Accediu a Eines | Crea una eina nova
• Per seleccionar els objectes de sortida feu clic a un punt interior de cada un dels tres polígons que han anat resultant en les tres simetries.⁶⁾. Veureu que apareixen indicats a la casella dels objectes de sortida:
  
  I amb això ja en tenim prou! Quan es selecciona un polígon com a objecte de sortida d'una macro el programa ja entén que volem els costats i l'interior del polígon.
• Passeu als Objectes d'entrada. Veureu que hi apareixen els punts A, B, C i D, però a nosaltres això no ens interessa perquè volem que l'objecte d'entrada sigui el quadrilàter ABCD. Seleccioneu-lo i aleshores…
  
  No sempre és possible eliminar els vèrtexs que han servit per crear un polígon i agafar aquest com a únic objecte d'entrada d'una macro, sense indicar-ne els vèrtexs. Depèn de les accions que s'hagin fet amb el polígon; en aquest cas ja veureu que sí que és possible.
• Doneu-li nom a la macro i indiqueu a l'ajuda de l'eina que només s'ha de clicar en un quadrilàter.
• Quan feu D'acord ja veureu que l'eina s'ha creat correctament.

Abans ja heu vist que funciona molt bé per anar fent un enrajolat. Amb això ja heu acabat aquesta pràctica.