En aquesta pràctica, on, per sobre de tot, es descriuen possibilitats de treball, veurem com podem crear alguns objectes (rectes i circumferències) geomètricament i també analíticament, mitjançant diferents maneres de donar-ne l'equació.

Ara posarem l'èmfasi en el fet que la geometria analítica és un recurs que convé conèixer per resoldre problemes. Aquest ha estat durant una colla d'anys el punt de vista preferent en les classes de Batxillerat. Ara, però, el GeoGebra ens fa reflexionar sobre la identitat dels dos punts de vista amb què hi podem treballar: com que una recta o una cònica en la zona gràfica es corresponen amb una equació en la finestra algebraica no estem fent o bé geometria analítica o bé geometria constructiva. El GeoGebra ens ensenya que són dues maneres equivalents de fer geometria.

Imagineu que en una classe de Batxillerat, en les primeres sessions de geometria analítica de la recta, es proposa el problema següent:

• Donats els punts A=(2,1), B=(6,2), C=(5,4), busqueu les coordenades d'un punt D amb la propietat que ABCD sigui un paral·lelogram.

Potser alguns/es alumnes el farien vectorialment, tal com hem comentat en la pràctica anterior, però d'altres el farien pensant en la construcció geomètrica, mitjançant paral·leles. El GeoGebra ens pot ajudar a una presentació adient, amb un gràfic acurat i l'explicació de quins són els procediments que s'han emprat (dues coses que no sempre aconseguim que faci el nostre alumnat "de geometria analítica").

• En acabar l'exercici "fet a mà", podem dir a l'alumnat que escrigui en la línia d'entrada les equacions que ha calculat i el punt que ha trobat. Això l'ajudaria, amb tota seguretat, a comprovar si els càlculs són correctes segons que el dibuix correspongui, o no, al problema que havia de fer.

• Els diem que es poden entrar les rectes directament en la forma general, com és ara 2x + y =14, i aleshores el programa assigna a la recta un nom amb la lletra minúscula que té lliure. Si volem definir la recta donant-li un nom, ho hem de fer així, separant el nom de l'equació amb dos punts: r: 2x + y =14.

• Amb els càlculs correctes per a l'exercici que hem proposat trobaríem aquest gràfic:
  

• Si mirem els passos de la construcció (feta així com hem indicat, a posteriori) veuríem això:
  

• Ara convindria dir-li a l'alumnat que, a mà, omplís la columna en blanc i així tindríem una presentació de l'exercici molt més acurada que el que de vegades trobem als exàmens que corregim…

…però segur que ens preguntarien i no podríem fer directament la construcció amb GeoGebra? És clar que sí!

• Pel que interessa en aquest moment, convé comentar dues versions del comandament Recta[].
  • Recta[ punt, punt] retorna la recta que passa pels dos punts que s'indiquen com a argument.
  • Recta[ punt, recta] retorna la recta que passa pel punt i és paral·lela a la recta que donem com a argument a la comanda.
• Vegeu-ne la construcció en la finestra incrustada següent:

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Tot i que ara posem l'èmfasi en el recurs del "treball analític", és a dir la possibilitat d'entrar directament les equacions, la idea clau del GeoGebra (gràfics i equacions es mostren alhora) ens ensenya que si s'ha fet inicialment la construcció amb GeoGebra ja tindríem gràfic, explicació dels procediments i resultats dels càlculs presentats de manera acurada. ¹⁾

Podeu veure que el GeoGebra, pel seu compte, escriu sempre les rectes en forma general implícita, que el programa indica com Equació a x + b y = c. Ara bé:

• Podem passar a la forma explícita Equació y = a x + b si cliquem amb el botó dret i així ho indiquem. ²⁾
• Si en el nostre treball analític nosaltres entrem directament l'equació de la recta en la forma y = a x + b, el programa ens respecta la decisió i manté la presentació d'aquesta manera. Dos comentaris:
  • Si entrem l'equació explícita amb el pendent i l'ordenada a l'origen escrits com a fraccions, constatarem de seguida que el GeoGebra no hi treballa internament: tots els coeficients es passen a nombres decimals.
  • Podem passar de la forma explícita a la forma general clicant sobre la recta amb el botó dret.

Si heu practicat algun canvi en la presentació de l'equació de la recta, haureu vist de seguida que el GeoGebra també ens ofereix la possibilitat de treballar amb l'equació de les rectes en Forma paramètrica. Potser ja heu provat aquesta possibilitat, que s'associa directament a la forma vectorial del treball de la geometria analítica. En parlarem tot seguit.

En aquesta activitat treballareu amb la interpretació de l'equació paramètrica o vectorial d'una recta.

• La forma paramètrica de presentar les rectes que adopta el GeoGebra és r: X = punt + λ vector
  

amb la X per a indicar el punt genèric de la recta i λ és el paràmetre.

• Anomenarem aquesta equació de la recta, indistintament, paramètrica o vectorial
  

Experimenteu en la finestra interactiva següent, on tenim tres opcions per a la interactivitat:

• El punt A, un punt de la recta amb què treballarem.
• El vector v, que assenyala la direcció de la recta.
• El punt lliscant λ, que materialitza el paràmetre de la recta.

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

En aquest cas, donades les característiques de l'activitat que farem, és convenient treballar amb eixos i graella visibles.

• Dibuixeu en primer lloc el punt A.
• Definiu en la línia d'entrada un vector v que serà un vector director de la recta. Podeu posar per exemple v = (3,1), que després en l'experimentació ja heu vist que el podeu canviar interactivament.
  • El vector v, com ja sabeu, queda dibuixat amb origen a l'origen de coordenades. Si us interessés, anant a Propietats | Posició el podríeu situar amb origen en el punt A.
  • Si no ha quedat visible l'etiqueta de v, feu que es vegi. Doneu-li a aquest vector el color i el gruix que cregueu convenient.
  • Definiu també en la línia d'entrada un vector que li posareu de nom λv (tot junt) i que tindrà per valor λv = λ*v. ³⁾ Per aquest vector aneu a Propietats i aleshores:
    • vigileu que l'etiqueta sigui visible;
    • a la pestanya Posició, feu que aquest vector tingui com origen el punt A.

• Seguidament creeu el punt lliscant que li donareu de nom λ i feu-lo variar entre -4 i 4.
• Introduïu X = A + λ v en la línia d'entrada i premeu Retorn.
  • Moveu el punt lliscant i observeu que tot funciona. Ja sabeu que el punt que s'ha dibuixat és de la recta que passa per A i té direcció donada per v.
  • Ara visualitzareu diversos punts de la recta que estem estudiant; en certa manera, la generareu punt a punt. Situeu-vos sobre el punt X, cliqueu amb el botó dret del ratolí i activeu Activa el traç.
  • Recordeu que podeu esborrar el traç amb Ctrl+F.
• Per veure la recta dibuixada podeu entrar-ne directament l'equació vectorial a la línia d'entrada. Ho heu de fer donant-li nom en el mateix moment que la definiu. Per exemple, així: r: X = A + λ v. Pareu atenció que:
  • La lletra r és el nom de la recta, que va seguit de dos punts; podeu posar-li el nom que vulgueu (fins i tot recta; pot començar amb majúscula o amb minúscula).
  • El punt genèric de la recta ha de venir indicat forçosament amb X.
  • El nom del paràmetre pot ser qualsevol; també podríeu posar r: X = A + k v. Adoneu-vos que l'expressió vectorial de la recta pot ser la mateixa que ens ha servit per definir un punt.
  • Si ara desplaceu el punt lliscant λ, observareu que el punt P es mou efectivament sobre la recta.
  • Pot ser interessant tenir una casella de verificació que permeti mostrar o amagar la recta.

Per tenir l'activitat com l'heu vist només falta posar un rètol al punt X.

• Utilitzant l'eina Insereix text entreu el text
  

X = A + ( λ ) v com veieu a la imatge.

• Com hem comentat a la pràctica anterior i a l'annex, també podeu entrar el text usant la sintaxi que combina les cometes el símbols de suma:
  

"X = A + (" + λ + ") v". Una vegada creat el text, aneu a Propietats i:

• Doneu-li la mida i el color que us interessi.
• Aneu a la pestanya Posició, feu que el text quedi situat al punt X i acabeu-lo de situar a mà en la posició que vulgueu respecte el punt.

Si teniu oberta la Finestra algebraica, podeu veure que hi apareix l'equació de la recta en forma paramètrica. Si us situeu sobre l'equació de la recta i cliqueu el botó dret del ratolí, veureu que s'obre una finestra que permet canviar el tipus d'equació de la recta a General o Explícita

Algunes observacions:

• També podríem haver fet l'activitat anterior començant amb dos punts de la recta A i B i definint com a vector director de la recta el Vector[A, B], ja sigui per comandament ja sigui amb l'eina corresponent.
• Igualment es podria pensar en una idea didàctica: començar l'activitat anterior amb l'equació d'una recta r donada en forma y = a x + b o bé a x + b y = c i visualitzar el pas a l'equació vectorial.
  • Amb el comandament Punt[r] o amb Punt sobre un objecte podríem definir el punt A.
  • Amb el comandament Direcció[r] obtindríem un vector director de la recta.
  • També podríem definir un segon punt B sobre r i aleshores un vector v que unís A i B. Això ens pot servir per explicar clarament que el vector director d'una recta i el punt que la defineix no són pas únics.
  • Aquest plantejament tindria l'inconvenient que no podríem modificar interactivament ni el punt A ni el vector v. Per veure l'equació vectorial de la recta hauríem de fer-ho amb el botó dret del ratolí a partir de l'equació introduïda.
• Heu de saber que el comandament Recta[ ], del qual ja n'hem comentat dues versions, encara en té una tercera: Recta[punt, vector] que, naturalment, ens dóna la recta que passa pel punt i té la direcció indicades. Tanmateix, si ho fem així, inicialment el GeoGebra no ens mostra l'equació en la seva forma paramètrica o vectorial sinó en la forma general.
  • Per això aconsellem, si es vol treballar amb una recta en forma vectorial, definir primer un punt de la recta A i un vector director v i escriure la recta en la línia d'entrada com r: X = A + λ v.
  • Eventualment podem definir una recta fixa amb aquesta formulació. Per exemple r: X = (1,-2) + λ (2,1).⁴⁾ o, encara millor, per evitar duplicitats en la definició entre punts i vectors r: X = (1,-2) + λ vector[(2,1)].

Un estel és un quadrilàter que té dos costats consecutius iguals i els altres dos costats consecutius també iguals entre ells. ⁵⁾

El resultat d'aquesta pràctica ha de ser similar al de la finestra següent del GeoGebra i els repàs de la construcció ens servirà per reflexionar novament sobre la duplicitat constructiva versus analítica pel que fa en aquest cas a les circumferències. Primer practiqueu una mica per visualitzar què és un estel i us proposem que conjectureu visualment la resposta a algunes preguntes. Reprendrem el tema en una altra pràctica:

• Si dibuixem el quadrilàter definit pels punts mitjans de l'estel, quina figura en resulta?
• Quina propietat tenen les diagonals d'un estel? Intenteu precisar al màxim.
• Un estel, és sempre inscriptible en una circumferència?
• Un estel, és sempre circumscriptible a una circumferència?

Voleu descarregar-vos aquesta construcció?

Per elaborar l'activitat…

• Engegueu el GeoGebra i procediu com veieu indicat en la finestra següent, que mostra els Passos de la Construcció. Segur que ja sabeu decidir en cada cas quina és l'eina més convenient:
  

• En acabat, oculteu els objectes auxiliars i poseu un text explicatiu, si ho creieu convenient.

Ja veieu que han aparegut les equacions de dues circumferències que han servit per fer la nostra construcció. Per acabar aquesta pràctica comentarem les formes que incorpora el GeoGebra per a l'equació de la circumferència.

• La forma preferent és sempre la que de vegades se'n diu "centre-radi":
  

• Nosaltres podem entrar l'equació de la circumferència com ens interessi, ja sigui en la forma geomètrica (la que veieu tot seguit):
  

o en la forma analítica, directament en la línia d'entrada (ja sigui utilitzant l'accent circumflex ^ per als exponents o bé amb l'assistent per als símbols

Però el GeoGebra sempre escull, per mostrar-nos l'equació inicialment, la forma centre-radi.

• Amb el botó dret del ratolí podem passar sempre que interessi de la forma
  (x-m)² + (y-n)² = r²
  a la que el GeoGebra indica com la forma
  a x² + b xy + c y² + d x + e y = f ⁶⁾, i recíprocament.
• Diguem, per acabar, que si volem fer un treball purament analític amb una circumferència entrada de la forma circ: x² + y² + A x + B y = C podem obtenir-ne el centre i el radi visualment amb el pas a l'altra forma de l'equació però, tanmateix, convé conèixer les comandes autoexplicatives Centre[circ] i Radi[circ].